Aplicaciones e integrales impropias

Imagina que abrimos un grifo y nunca lo cerramos de nuevo. El flujo de agua del grifo, medido en alguna unidad de volumen por unidad de tiempo, puede ser dado como una función.

En este caso, dejamos que el flujo sea descrito por:

La cuestión aquí es que, después de una cantidad infinita de tiempo, no tendremos una cantidad infinita de agua que haya salido del grifo. Y aquí está el porqué.

En un pequeño intervalo de tiempo, cantidad de agua ha salido del grifo. Si sumamos todas estas pequeñas cantidades durante el intervalo de tiempo infinito, obtenemos la integral:

¡Si dejamos correr este grifo para siempre, solo terminaremos con 1 unidad de agua!

Recordemos la forma de una integral definida:

donde y son los límites de la integración, y es una función integrable en el intervalo .

Ahora es un intervalo abierto, y la integral definida calculará el área bajo la curva de de a . ¿No deberíamos incluir los puntos y ? No necesariamente, pero debemos tener cuidado, porque los puntos finales pueden convertirla en una integral impropia.

Las integrales que cumplen con la primera condición se consideran universalmente como integrales impropias de tipo 1. De manera similar, aquellas que cumplen con la segunda se llaman integrales impropias de tipo 2.

Puede parecer contraintuitivo al principio, ya que las integrales impropias siempre contienen infinitos, que el área calculada por este tipo de integrales a veces puede ser un número finito. Si lo es, decimos que la integral converge.

Por otro lado, si el área bajo la curva obtenida por la integral va hacia el infinito positivo o negativo, decimos que diverge.

El término convergencia no es único para las integrales impropias, como veremos en capítulos futuros, pero donde quiera que aparezca se usa para describir una cantidad que tiende a acercarse a algún valor.

En el caso de las integrales impropias, esta cantidad es el área bajo la curva. A diferencia de la convergencia, la divergencia significa crecer o disminuir sin límites.

Considerando que estamos interesados en si una integral impropia se acerca a algún valor finito o no, no debería sorprender que la forma en que la evaluamos sea a través de límites:

Supongamos que la siguiente integral es impropia:

Veamos cómo la trataríamos dependiendo de qué la hace impropia.

Tipo 1

Si , entonces:

Si , entonces:

Tipo 2

Si cuando , entonces:

Si cuando , entonces:

Si el límite al que igualamos la integral impropia existe como un número finito, decimos que converge a ese número. De lo contrario, decimos que diverge.

En el caso de que el límite tienda hacia , decimos que la integral impropia diverge hacia el infinito positivo o negativo.

Como un método alternativo al cálculo de límites, en algunos casos podemos usar la prueba para determinar si una integral impropia converge o diverge.

Por lo tanto, si sabemos que converge, necesariamente también lo hará. De manera similar, si diverge, divergerá.

Resulta que lo siguiente es cierto acerca de integrales impropias de potencias de :

Por ejemplo, parece razonable al mirar la imagen a continuación que converge cuando se integra alrededor de , pero no desde algún al infinito:

A la inversa, mirando a continuación, podría tener sentido que integrar desde algún al infinito, obtenemos una bonita convergencia, mientras que la integración alrededor de resulta en divergencia.

En la prueba , hacemos uso de estos resultados conocidos para determinar si una integral impropia es convergente o divergente, dado que sabemos que la función es mayor o menor que entre los límites de integración.

Esta sección trata sobre integrales de funciones con huecos, puntos desviados desobedientemente y asíntotas verticales entre los límites de integración. Veremos que podemos integrarlas todas, con algunas reservas.

Hemos visto, al mirar la integrabilidad y propiedades de las integrales, que podemos separar una integral en dos sin que cambie nada:

si

Supongamos ahora que tiene una asíntota vertical en . Para calcular la integral, necesitamos dividirla en dos y escribir:

Como ejemplo, calculemos la integral de en .

Escribimos:

Ahora, la integral es perfectamente simétrica alrededor de , por lo que podemos reescribirla como:

y sabemos por la prueba para integrales que la integral converge, ya que el exponente . Por lo tanto, calculamos la integral y obtenemos:

Frente a ti se encuentra una función:

¿Cómo hacer para integrar en ? Algo sorprendente, en realidad puedes integrar como de costumbre sin preocuparte por los puntos problemáticos:

Esto es válido siempre y cuando haya un número finito de puntos en los límites finitos de integración donde sea indefinida o tenga un valor de función que rompa la curva continua.

Así que continuemos, elimine tantos puntos como desee de cualquier función continua, aún podremos integrar como si nada hubiera pasado.

La diferencia entre estas funciones y el ejemplo de la asíntota vertical es que allí, toda la curva continua se dirigía hacia el infinito.

Aquí, solo tenemos puntos infinitamente pequeños yendo por su propio camino. En realidad no contribuyen con nada a las integrales: el área bajo un punto infinitamente pequeño es muy pequeña en comparación con el área total.

Observa esta cosa de aspecto curioso:

Con algunos valores de , que se corresponden con múltiples valores de , la curva ciertamente no es una función, y es importante que no la tratemos como tal.

Entonces, ¿cómo debemos tratarla? La respuesta es la parametrización.

En matemáticas, una longitud de arco es una curva suave que conecta dos puntos. Para una longitud de arco en dos dimensiones, como la de arriba, necesitamos dos números para describir los puntos a lo largo de ella. Representamos un punto por , que no es un intervalo, sino coordenadas.

En lugar de que dependa de según alguna función como estamos acostumbrados, ambos dependerán de alguna otra variable, un parámetro, generalmente denotado por .

Ahora y pueden expresarse como funciones de , llamadas las ecuaciones paramétricas, independientes entre sí.

La parametrización de la función de área se verá como un sistema de ecuaciones, donde solo los puntos que satisfacen ambas ecuaciones yacerán en el arco:

Para que surja un arco de estas ecuaciones, es necesario que y sean funciones continuas, de modo que no haya huecos en la curva.

Parametriza la curva descrita por la ecuación:

Aquí, queremos expresar y como funciones de un único parámetro , es decir:

Esto se puede hacer de la siguiente manera:

y la parametrización se verá así:

El círculo unitario se describe por la ecuación:

Ahora, podemos describir el círculo unitario usando solo un parámetro

Esto se puede hacer de la siguiente manera:

Echa un vistazo a Snakey:

Eres un biólogo, así que te gustaría saber cuánto mide Snakey. El problema es que Snakey está durmiendo. Si lo levantas y lo estiras frente a una regla, intentará morderte. Será mejor que encuentres otra manera de medir su longitud.

Hmmm. ¿Qué tal si modelamos el cuerpo de Snakey como una curva? Entonces realmente podrías averiguar su longitud. ¿No es eso ingenioso?

Digamos que el cuerpo de Snakey se expresa por la curva , donde varía de a, no sé, . Un pequeño aumento en inducirá un cambio en e . Llamemos a estos cambios y . El cambio general en longitud se da por el teorema de Pitágoras:

Ahora intenta factorizar , de modo que:

Si quisieras la longitud total, sumarías todos esos :s, hasta que te hayas movido de la cabeza a la cola de Snakey. A medida que disminuimos , terminamos con una integral. Entonces, la longitud de Snakey se puede escribir como:

¿Y si el cuerpo de Snakey corresponde a la curva de una función? Entonces podríamos escribir:

Resulta que la longitud de Snakey es:

donde y son los límites relevantes del integral.

Un puente colgante está suspendido entre dos puntos sobre un río. La distancia entre los puntos es de 4 metros y el puente colgante se describe por la fórmula:

Si queremos calcular la longitud del puente, tendríamos que calcular la longitud de arco:

Diferenciando para obtener , nuestro integral se convierte en:

Tenemos una curva en el plano , lo que haremos es tomar la curva y rotarla alrededor del eje o . Puede que no sea revolucionario, pero es bonito. Veremos cómo podemos calcular el área de la superficie y el volumen del objeto que aparece.

Esta es alguna función rotada alrededor del eje :

Supongamos que queremos saber su área superficial. Lo construiremos paso a paso. Llamemos a un elemento infinitamente pequeño de la curva . Desde la nota de la lección sobre longitud de curvas, sabemos que:

Como la circunferencia de un círculo es , siendo el radio, el área superficial de la banda delgada que aparece al rotar alrededor de una línea es:

Si la curva se rota alrededor del eje , el corresponde al valor de la función , es decir, . Ahora, para obtener toda la superficie de revolución, necesitamos sumar todas las bandas delgadas.

Esto nos da la superficie de revolución cuando rotamos la curva de alrededor del eje :

Si en cambio la curva se rota alrededor del eje , el radio es simplemente y el resto permanece igual. Entonces el área superficial es:

Cabe destacar que, al igual que cuando se trata de longitudes de curvas, requerimos que la función sea continua.

Los sólidos de revolución se refieren más o menos al volumen que aparece al rellenar la superficie de revolución.

Sin embargo, calcular un sólido de revolución sigue un método ligeramente diferente y, tal vez sorprendentemente, más fácil.

Construiremos el volumen a partir de discos delgados. Si queremos conocer el sólido de revolución de entre y , dividimos el eje en pequeños segmentos de longitud , dependiendo de . Usamos el índice para referirnos al intervalo .

Para que el método sea válido, requerimos que sea continua. Entonces, por el teorema del valor medio para integrales, existe algún valor llamado en cada intervalo , de modo que el volumen de un disco es igual a:

Ahora, si dejamos que el número de discos tienda a infinito y sumamos todos los discos, obtenemos:

Puede que te preguntes por qué no necesitamos preocuparnos por para los sólidos de revolución, cuando sí tuvimos que hacerlo para las superficies. La razón es que al tratar con el área de la superficie, perdemos demasiada precisión si reemplazamos por .

Digamos que queremos calcular el área de la superficie de un cono hecho girando la curva . Entonces, cada elemento es . Eso hace que cada anillo delgado del que se construye el área de la superficie sea veces más grande usando el correcto en lugar de , y esa es una gran diferencia.

Pero, al aproximar el volumen total, la diferencia entre usar y es insignificante. Hacer los segmentos de curva infinitamente pequeños eliminará toda diferencia entre usar o para el volumen.

Encuentra el volumen entre de la forma que se produce al girar y alrededor del eje , donde:

El primer paso es definir cuál será el área de intersección en nuestro problema. Para hacer esto, puede ser útil notar que en el intervalo , como podemos ver a continuación.

El siguiente paso es definir el área que encierra cada función. Estas se convierten en y .

Encontramos el área de intersección siendo . Podemos ver esto fácilmente en la imagen de abajo.

Al multiplicar con obtenemos los elementos de volumen . Luego, simplemente integramos :

Por lo tanto, el volumen es .