Límite en un punto
El límite nos indica cómo se comporta la función a medida que nos acercamos más y más a un valor particular de .
Por ejemplo, observa la función .
A medida que se acerca a , el valor de la función tiende a . Esto se escribe como
En este caso, sustituir te dará el límite cuando se acerca a . ¿Fácil, verdad?
Sin embargo, este caso es un lujo. Considera la función:
La función no está definida para , ya que no podemos dividir por . Al observar el gráfico de la función, parece que:
¿Qué queremos decir realmente cuando decimos "a medida que se acerca a , el valor de la función tiende a "? En símbolos, esto es:
Bueno, esto significa que el valor de la función puede acercarse mucho a si tomamos suficientes pasos hacia en el eje .
Y por "muy cerca de ", queremos decir que cae dentro del estrecho corredor mostrado abajo.
Ahora supongamos que
Me das un corredor diminuto, encontraré un valor de lo suficientemente cerca de para que encaje. Es solo cuestión de acercarse más a .
Ta-da. Eso es esencialmente la definición de un límite.
Me das un corredor diminuto, encontraré un valor de lo suficientemente cerca de para que encaje
Reglas para calcular límites
Incluso para funciones simples, calcular los límites por definición puede ser bastante laborioso.
Aquí hay algunas reglas para el cálculo de límites.
Sean y funciones tales que y , cuando . Entonces:
a) cuando ,
b) , cuando ,
c) si , entonces cuando ,
d) si para todo , entonces .
Además, hay una regla para la composición de límites.
Sean y funciones tales que:
Entonces:
En el último teorema, todo lo que tenemos es:
El valor que introducimos en se acerca a , por lo que efectivamente estamos diciendo:
Límites unilaterales
El límite de una función , para algún valor , es un número que nos permite saber cómo se comporta la función a medida que nos acercamos a .
Con esto en mente, podemos hablar sobre el límite de a medida que nos movemos hacia desde la derecha o desde la izquierda. Esto es a lo que nos referimos con límites unilaterales.
Movernos hacia desde la derecha también se llama acercarse a desde arriba, lo cual denotamos por:
De manera similar, al movernos hacia desde la izquierda decimos que nos acercamos a desde abajo:
En algunos casos, los dos límites son iguales, y en otras ocasiones no lo son.
Los límites a menudo revelan información útil sobre una función en un punto donde esta no está definida.
Mira la siguiente función:
Podríamos estar tentados a simplificar la expresión como:
Al hacerlo, debemos tener cuidado de no incluir el punto , donde el denominador sería cero y la función indefinida.
Aunque la función no tiene valor justo en , podemos ver que a medida que se aproxima a desde cualquier lado, el valor de la función se aproxima a , y entonces:
o simplemente:
Ahora considera esta función definida por partes en su lugar:
Aquí vemos que:
mientras que
Ya que:
entonces podemos concluir que el límite de no existe en .
Límites al infinito
Intuición
Algunas funciones tienen la propiedad de que, a medida que se aproxima al infinito, entonces tiende a algún valor .
Decimos que el límite de cuando tiende al infinito es . Se escribe como:
Lo que queremos decir con esto se puede ilustrar como un juego. El juego es entre tú y yo, y yo estoy destinado a perder.
Digamos que tenemos una función que tiene el límite , a medida que tiende a . Comenzaré el juego dándote un corredor bastante estrecho, paralelo al eje y centrado alrededor de .
Luego, a medida que caminas a lo largo del eje , encontrarás un valor para el cual permanece dentro del corredor para todos los valores de mayores que este .
Mi turno de nuevo, intentaré dificultarlo, haciendo mi corredor 1 000 veces más estrecho. Sin embargo, continúas tu viaje a lo largo del eje y no tienes problemas en encontrar un nuevo para que, de nuevo, para todos los más a la derecha, permanezca bien dentro de mi corredor.
Se dice que la función converge si hay un valor para el cual permanece dentro del corredor para todos los valores mayores que .
El juego puede continuar para siempre, pero siempre puedes contrarrestar el ancho de mi corredor con un valor más grande y ganar la ronda.
Reglas para calcular límites al infinito
Al igual que con los límites en un punto, existen algunas reglas útiles para calcular límites al infinito. Se dan por el siguiente teorema:
Sean y funciones tales que y , cuando . Entonces:
a) cuando
b) , cuando
c) si , entonces cuando
d) si para todos , entonces
La en debe elegirse de modo que para todo .
Finalmente, hay una regla práctica para el límite de .
Sean y funciones tales que:
Entonces:
Este último teorema puede parecer complicado al principio, así que desglosémoslo. Empezando desde dentro, notamos que básicamente estamos introduciendo un argumento aleatorio que tiende a infinito en :
Así, con lo que realmente terminamos es solo:
Límites infinitos
Dada una función:
A medida que se acerca a , se hace más y más grande - infinitamente grande. Su gráfico de función se dispara hacia el infinito, por lo que escribimos:
Pero espera, no es un número. ¿Cómo debemos tratar la expresión anterior?
Juguemos un juego. Te doy un número , tú me das un valor de tal que . ¿Listo?
Como calentamiento, te daré . Tú contrarrestas dándome . Fácil.
¿Qué tal ? Solo usa .
Probemos otro número. Digo . Bueno, eso también es fácil. Solo puedes usar . En este punto, me rindo.
Este juego ilustra lo que queremos decir con expresiones como
o
Significa que, sea cual sea el número que te dé, siempre puedes encontrar un tal que .
Cualquier valor que te dé, siempre puedes encontrar un valor tal que
Significa que yo perderé y tú ganarás.
El teorema del sandwich
Siempre que es posible, a los matemáticos les gusta encontrar nombres descriptivos para los teoremas. Por ejemplo, existe el Teorema de la Bola Peluda, y la Ley del Estadístico Inconsciente.
Sin embargo, es difícil superar al Teorema de los Dos Oficiales y un Borracho. (¡Sí, este realmente es el nombre de un teorema!) Pero es más comúnmente conocido por un alias más corto, el Teorema del Sandwich.
Entonces, ¿qué dice el teorema?
Imagina a dos policías escoltando a un prisionero borracho entre ellos. Todos avanzan a la misma velocidad.
El prisionero puede tambalearse entre los oficiales, pero sin éxito. A medida que ambos policías conducen a la comisaría, el prisionero también termina en la comisaría.
Esta idea está en el corazón del Teorema del Sandwich.
En el Teorema del Sandwich, es análogo al prisionero, mientras que los dos oficiales corresponden a dos funciones límite.
Si las funciones y tienen el mismo límite en el punto , y:
entonces:
El Teorema del Sandwich también se puede aplicar a límites en el infinito, como
Límites estándar
Sean y dos funciones que tienden al mismo valor a medida que se aproxima a algún punto .
¿Cuál es entonces el siguiente límite:
Para expresiones que consisten en una función dividida por otra función, donde ambas tienden hacia el mismo valor a medida que se aproxima a algún punto, puede no ser obvio hacia qué valor tiende toda la expresión.
Ambas ecuaciones podrían, por ejemplo, crecer cada vez más a medida que tiende al infinito, pero ¿cuál de ellas crece más rápido?
Esta pregunta suele ser interesante para los científicos de la computación que estudian la complejidad temporal, donde buscan comparar la velocidad de diferentes algoritmos.
Para ayudar a resolver este problema, hay un puñado de límites estándar con valores conocidos que podemos usar.
Límite estándar 1
En el gráfico, y tienen ambos el valor de , pero para cualquier función exponencial con una base mayor que , la exponencial crecerá más rápido que la función de potencia en el denominador.
Límite estándar 2
Al igual que en el ejemplo anterior, no importa la elección de la base para el logaritmo ni el exponente para el polinomio. La curva logarítmica siempre se aplanará y será superada por el polinomio.
Límite estándar 3
Observa cómo el gráfico de y se siguen mutuamente alrededor de .
