Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

Las ecuaciones diferenciales describen cómo una función y su tasa de cambio interactúan. Contienen tanto la función en sí como una o más de sus derivadas.

Una ecuación diferencial de primer orden contiene solo primeras derivadas. Eso es a lo que se refiere el primer en su nombre.

La ecuación diferencial separable en su forma más simple puede verse así:

Lo que la hace separable es que podemos organizarla de manera que los términos de y estén separados, quedando en diferentes lados del signo igual.

A menudo usamos en lugar de como variable, ya que las ecuaciones diferenciales describen con frecuencia sistemas dependientes del tiempo.

Esta es la forma genérica de una ecuación diferencial separable:

Enfoquemos las matemáticas desde la sabana.

Digamos que tenemos un grupo de gacelas. Llamemos al número de gacelas . Comen hierba y se reproducen.

¿Qué sucede con la población a medida que pasan los días?

La simple ecuación de la página anterior con corresponde a una sabana donde la hierba nunca se acaba y una tasa de reproducción proporcional a la población actual:

El es la constante de proporcionalidad.

Ahora resolveremos la ecuación.

Recuerda que podemos separar los diferenciales. Haciendo uso de esto, reorganizamos la ecuación a:

Luego, integramos ambos lados.

Observa que podemos dejar que las constantes de ambas integrales indefinidas se incluyan en el . Finalmente, resolviendo para , elevamos a la ecuación:

proviene de usar reglas exponenciales y dejar que . Determinar se puede hacer si sabemos cuántas gacelas hay en un momento específico .

Mientras haya suficiente hierba, la población puede seguir creciendo de esta manera, pero si la hierba crece demasiado lento en comparación con las gacelas que la comen, la población dejará de crecer.

Del mismo modo, si hay demasiadas gacelas al principio, después de un período inusualmente herboso, algunas morirán de hambre ya que se come toda la hierba. La curva de la población, por lo tanto, caerá.

Este sistema, por lo tanto, tiene un equilibrio, en el que el número de gacelas permanece constante e igual a algún número . La derivada es cero en el equilibrio:

Para modelar este sistema más realista matemáticamente, tenemos que modificar un poco la ecuación. Echa un vistazo a esta:

Observa cómo, a medida que se acerca a , la derivada se vuelve más y más pequeña. Si es mayor que , la derivada es negativa: la población disminuye.

Esta ecuación puede parecer intimidante a primera vista. Pero también es separable. Si lo intentas por ti mismo, una pista es:

La solución es ...

Aquí, es el número de gacelas en el tiempo .

Este modelo se utiliza ampliamente para modelar el crecimiento de la población. La ecuación se llama la ecuación diferencial logística.

Considera una ecuación diferencial de la forma:

Para resolverla usando integrales indefinidas, nos gustaría separar todos los y los en términos diferentes.

Si dividimos el lado izquierdo por , obtenemos solo, pero nos vemos obligados a dividir también el lado derecho por , dejándonos con otro término mixto.

Al no haber forma de evitar esta mezcla, concluimos que la ecuación no es separable y necesitamos un método alternativo para resolverla.

Resulta que este método alternativo seguirá siendo similar para ecuaciones de esta forma e involucrará tanto integrales indefinidas como la regla del producto.

Si encontramos una antiderivada de :

Entonces se llama factor integrante, y una solución a la ecuación tomará la forma:

Vamos a saltar directamente a un ejemplo utilizando este método, antes de echar un vistazo a por qué funciona, para aquellos que tienen curiosidad.

Una fábrica situada junto a un lago está vertiendo residuos líquidos de su producción, compuestos por agua contaminada con 2 gramos () de arsénico por litro (), directamente al lago donde se mezcla con el agua que ya está allí.

Durante la primera hora, 1 litro de residuos se vertió desde la fábrica, pero el negocio está expandiéndose constantemente, y cada hora () bombea un litro más de residuos al lago en comparación con la hora anterior. El agua mezclada del lago sale a la misma tasa que la fábrica agrega residuos a través de un pequeño río. Por lo tanto, el volumen del lago permanece constante en un millón de litros.

¿Cuánto arsénico habrá en el lago horas después de que la fábrica comenzó a operar?

Solución:

Sea la cantidad de arsénico en el lago, medida en gramos, como función del tiempo en horas. Vemos que el arsénico entra al lago a una tasa de:

y que el contaminante sale con una tasa de:

Entonces, la tasa a la cual el nivel aumenta está dada por:

Esto no es más que la ecuación diferencial que ahora tenemos que resolver para responder a la pregunta. Observamos que podemos reorganizarla en la forma que vimos anteriormente:

El primer paso para resolver la ecuación será encontrar el factor integrador.

Recordemos que el factor integrador tendrá la forma , donde es una antiderivada de .

Usando la regla de potencias al revés, encontramos que toma la forma:

donde podemos elegir la más simple con .

Ahora estamos cerca de la solución:

Si asumimos que el lago estaba completamente libre de arsénico antes de que la fábrica entrara en funcionamiento, tenemos la condición inicial que necesitamos para determinar :

entonces obtenemos, y hemos encontrado nuestra solución completa, proporcionándonos una función para la cantidad de arsénico en el lago en el tiempo t, medida en gramos:

Para aquellos que se preguntan por qué en el mundo los factores integrantes funcionan en la resolución de ecuaciones diferenciales que no son separables, vamos a diseccionar el método.

Nos dan una ecuación de la forma:

Comience multiplicando el lado izquierdo de la ecuación por el factor integrante que definimos anteriormente:

Luego notamos que, según la derivada de exponenciales y la regla de la cadena:

Así que lo que teníamos se puede escribir como:

Recuerde que es la derivada de con respecto a , y la forma de la expresión debería sonar familiar. De hecho, es exactamente lo que la regla del producto da para:

Observe que todo lo que hicimos fue multiplicar el lado izquierdo de la ecuación inicial por , el resto fue solo reorganizar el resultado. Por lo tanto, tenemos que multiplicar por el mismo factor integrante en el lado derecho:

Si ahora encontramos la integral indefinida de ambos lados, obtenemos:

Ahora multiplicando ambos lados por hace que aparezca sola a la izquierda, y hemos encontrado la forma general de una solución a nuestra ecuación diferencial:

Ya que puede ser cualquier constante, podemos dejar que sea igual a cero, dándonos la solución más sencilla: