Si y no es una función de x, pero aún así tenemos una relación entre ellos a través de alguna ecuación, no podemos formular la derivada como una función de x. Este es el caso de un círculo con radio $a$:
$$x^2 + y^2 = a^2$$
Una línea tangente a este círculo tendrá la pendiente $ -\frac{y}{x}$. Esta derivada es implícita, a diferencia de explícita como función de $x$ solo.

Derivadas implícitas

Una función es una forma de procesar números. Ingresas algún número y obtienes uno nuevo. La inversa de una función es entonces un proceso de rehacer, que toma la antigua salida y devuelve la entrada inicial.

Funciones inversas

Un ejemplo del teorema del valor medio

El teorema del valor medio es simple pero poderoso: entre dos puntos en una función continua, la derivada en algún lugar igualará la pendiente de la línea que conecta los puntos.

¿Por qué se llama teorema de Rolle?

¿Cuáles son los requisitos para el teorema del valor medio?

Teorema del valor medio

Las funciones no siempre están definidas para todas las entradas. Por ejemplo, la división por cero no está permitida. Para ver cómo se ve la función cerca de tal entrada, estudiamos el límite a medida que la entrada se acerca a este punto.

Límites

Los números enteros se consideran números discretos; están distribuidos con brechas entre ellos. El conjunto de números reales, sin embargo, es continuo, ya que entre dos números reales siempre encontrarás más de ellos. El mismo concepto se extiende a las funciones, donde una función continua es aquella sin brechas.

Continuidad

La derivada de una función proporciona su tasa de cambio instantánea en cualquier punto. Esto es análogo a la pendiente de una línea paralela a la función allí, que, junto con el concepto de límites, formula la definición de la derivada:
$$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

Derivadas

Encontrar derivadas no siempre es sencillo utilizando la definición. Afortunadamente, el tema está bien investigado y se han descubierto múltiples reglas prácticas que simplifican la tarea según la forma de la función.

Reglas de derivación

Como insinúa el nombre, las antiderivadas son los reversos de las derivadas. Si una función $f(x)$ tiene la derivada $f'(x)$, $f(x)$ es una antiderivada de $f'(x)$. Dada una función $f(x)$ puede a su vez tener antiderivadas por sí misma, que generalmente se denotan como $F(x) + C$. La constante $C$ siempre se puede agregar ya que derivar elimina cualquier constante.

Antiderivadas

El logaritmo natural
$$\ln(x) = \log_{e}(x)$$
es la función logarítmica con el número de Euler $e$ como base. Los logaritmos y las funciones exponenciales tienen una relación inversa entre sí, y así el logaritmo natural pregunta: ¿Cuál es el exponente $a$ que hace que $e^{a} = x$.

El logaritmo natural

Una propiedad clave de la función exponencial natural $e^{x}$ es que constituye su propia derivada. Esto, junto con algunas reglas de exponentes y derivación, se puede usar para encontrar la derivada de cualquier función exponencial:
$$\frac{d}{dx}a^{x} = a^{x}\ln{a}$$
De manera similar, el hecho de que la derivada del logaritmo natural es $1/x$ nos ayuda a determinar la derivada de la función logarítmica general:
$$\frac{d}{dx}\log_{a}(x) = \frac{1}{x\ln(a)}$$

Derivadas de logaritmos y exponenciales

Las funciones trigonométricas proporcionan información sobre la proporción de las longitudes de los lados $a$, $b$ y $c$ en un triángulo rectángulo, dado un ángulo $x$. Ahora, las funciones trigonométricas inversas van en la otra dirección y exponen los ángulos, dadas estas proporciones:
$$\sin(x) = \frac{a}{c} \implies \arcsin\left(\frac{a}{c}\right) = x$$
$$\cos(x) = \frac{b}{c} \implies \arccos\left(\frac{b}{c}\right) = x$$
$$\tan(x) = \frac{a}{b} \implies \arctan\left(\frac{a}{b}\right) = x$$

Funciones trigonométricas inversas

Visualizar una función al dibujarla puede ser de gran ayuda para entender el problema modelado por la función. Los valores extremos ocurren en puntos que son particularmente interesantes o útiles para pintar la imagen.

Valores extremos y bosquejo

Las técnicas de optimización tienden a involucrar una gran parte del cálculo. La idea principal es lo que podemos decir sobre una función y su derivada donde toma su valor máximo. Dado que no aumentará sin importar en qué dirección cambiemos $x$, encontramos este punto donde la derivada es igual a cero.

Optimización

Cualquier función matemática $f(x)$ se puede escribir como un polinomio de esta forma especial:
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$
Este polinomio de Taylor, llamado así, puede ser de orden infinito, pero a menudo se obtiene una buena aproximación al considerar suficientes términos y dejando que el punto de referencia $a$ esté cerca del punto $x$ que nos interesa. Los términos que involucran derivadas de orden superior pueden ser despreciados sin una pérdida significativa de precisión.

Polinomios de Taylor

Cuando el límite de una función no es inmediatamente evidente, hay ciertas técnicas que podemos emplear para encontrarlo. Podría ser el caso, por ejemplo, que la función sea una razón de dos expresiones que tienden ambas a infinito a medida que $x$ crece. En tal caso, debemos considerar cuál de ellas crece más rápido en comparación con la otra. Un método para determinar esto es comparar las derivadas de las expresiones.

Cálculo de límites

Las integrales, denotadas por el símbolo icónico $int$, están estrechamente relacionadas con las antiderivadas. Resulta que evaluar la antiderivada de una función en dos puntos y calcular la diferencia revela información fundamental sobre la situación que describe la función.

Integrales

Al igual que hay atajos para encontrar la derivada de una función, a menudo podemos emplear métodos estándar para integrar una función según el tipo de función que tengamos frente a nosotros.

Técnicas de integración

Un resultado algo contraintuitivo del cálculo es que incluso una función que se extiende infinitamente en una dirección puede contener un área de tamaño finito. A la luz de este fenómeno, es importante no sacar conclusiones precipitadas al tratar con integrales impropias; integrales que involucran infinitos.

Aplicaciones e integrales impropias

Una serie $S$ es una suma de infinitos términos:
$$S = \sum_{n}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + ...$$
La suma es probablemente la operación matemática más básica e intuitiva que hay, y las series a menudo proporcionan formas agradables y simples de abordar problemas difíciles.

Series

Si tienes dificultades para entender la aparente forma mágica de calcular áreas usando integrales, no estás solo. No fue hasta que la integración fue justificada por la analogía con sumas de segmentos infinitamente estrechos, llamadas sumas de Riemann, que la mayoría de los matemáticos comenzaron a aceptar el método.

Sumas de Riemann y aproximación de integrales

Calcular integrales analíticamente puede ser doloroso para funciones complicadas. En algunos casos, ni siquiera es posible debido al hecho de que no todas las funciones tienen antiderivadas. Cuando nos enfrentamos a tal problema, nos alegra contar con métodos numéricos a nuestra disposición.

Métodos numéricos

A diferencia de las ecuaciones regulares, donde buscamos encontrar el valor de una variable $x$, las ecuaciones diferenciales explican una relación entre una función y su derivada, y lo que buscamos es la función original. Una ecuación diferencial lineal de primer orden se puede escribir en la forma:
$$f'(x) + af(x) = 0$$

Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

Una ecuación diferencial de segundo orden es aquella que contiene no solo la derivada de la función que queremos encontrar, sino también la derivada de esta derivada:
$$f''(x) + af'(x) + bf(x) = 0$$

Derivadas implícitas

Derivadas implícitas

Funciones implícitas

La derivada de el círculo unitario

La derivada de una hipérbola

Derivando la regla de la potencia

Aplicaciones de la derivada implícita

Buen esquema para cálculo y lista de tareas corta

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