Valores extremos y bosquejo

Cuando se trata de encontrar el valor óptimo para algo, el extremo es clave. Esto nos interesa en todo, desde negocios hasta análisis ambientales y hábitos de estudio.

Estos son todos extremos:

En el gráfico anterior, tenemos:

El gráfico no tiene mínimo global: sigue bajando a medida que caminamos a lo largo del eje horizontal hacia .

Hay tres clases de extremos:

En un punto crítico, la pendiente es cero. Si llamamos a la función , se encuentran tomando la derivada y estableciéndola en cero:

Para determinar si es un punto máximo o mínimo, podemos observar los valores de la función en algunos puntos alrededor de , o la propia derivada en las cercanías. También podemos, como veremos en la sección sobre dibujo de gráficos, usar la segunda derivada.

A veces, el punto encontrado no es ni máximo ni mínimo: si la función está aumentando o disminuyendo alrededor del punto. Llamamos a este aplanamiento local un punto de silla.

Si la función está definida en un intervalo abierto, ocurre que el máximo o mínimo local o global no existe. Este gráfico muestra un ejemplo donde no hay mínimo local:

Vamos a ver un ejemplo real de extremo:

La función está definida para todos los , por lo que no tendremos que lidiar con puntos finales abiertos.

Tomando la derivada, obtenemos:

La derivada está definida para todos los , por lo que no tiene puntos singulares.

Los puntos críticos se encuentran estableciendo la derivada en cero:

Así que ese es nuestro punto crítico. Usándolo en , se determina el valor de la función:

Para algunas funciones, podemos trazar una línea recta que sigue el gráfico perfectamente a medida que o se acercan a . Esta línea se llama asíntota.

La función anterior es . Tiene dos asíntotas: la línea y el eje . Observa la función: el primer término hace que vaya al infinito a medida que se acerca a cero. Por el contrario, a medida que se hace grande, el segundo término domina, haciendo que la función se comporte como para grandes. Formalizaremos estas ideas intuitivas en un momento.

Hay asíntotas de tres tipos: verticales, horizontales y oblicuas. Básicamente, la línea puede estar en cualquier lugar del plano, siempre que sea recta.

Son de gran ayuda para esbozar el gráfico, como veremos en la siguiente sección.

Los tres tipos de asíntotas requieren diferentes enfoques. Los repasaremos uno a uno.

Usualmente, esto sucede si es una expresión racional cuyo denominador es cero en .

La definición de una asíntota horizontal es similar:

La asíntota oblicua es la oveja negra del trío:

Las expresiones en los límites anteriores simplemente dicen: a medida que avanzamos lejos por el eje , no hay diferencia entre la función y la línea recta .

Dado:

- vamos a buscar asíntotas.

Procedemos de manera sistemática, comenzando con las asíntotas verticales.

Notemos que si ponemos , el denominador es cero.

Entonces hay una asíntota vertical en .

A continuación, ¿qué hay de las asíntotas horizontales? Probemos el límite:

El primer límite se dirige al infinito, el segundo desaparece. Así que no se cumple la condición para una asíntota horizontal.

Por último, ¿y si pudiéramos encontrar alguna asíntota oblicua? Miremos de nuevo el cálculo de hace un momento. El último paso revela algo interesante. Porque acabamos de mostrar que:

¡Ajá! Moviendo al lado izquierdo, obtenemos:

¡Entonces, es una asíntota!

Así que tenemos dos asíntotas: una vertical, en , y una oblicua, . El gráfico de la función se puede ver a continuación.

Para una función , nos dice cuál es la concavidad de la función en cada punto. Es decir: si tiende a doblarse hacia arriba o hacia abajo.

Para una curva hacia arriba, formando una forma de u, la primera derivada aumenta y así la segunda derivada es positiva. Si esto ocurre en algún punto, decimos que la función es convexa allí.

De manera similar, donde la segunda derivada de la función es negativa, haciendo que la primera derivada disminuya, se dice que es cóncava.

Los puntos donde una función cambia de convexa a cóncava, o viceversa, se conocen como puntos de inflexión. Conocer la concavidad de una función y encontrar sus puntos de inflexión puede ayudarnos a esbozar el gráfico.

Anteriormente hemos revisado cómo determinar algunas características de las funciones utilizando puntos críticos y asíntotas. Ahora, aplicaremos esos conceptos para hacer bocetos de curvas.

Para hacerlo, comenzamos haciendo una tabla de signos, que contiene las características cruciales de una función que necesitamos para dibujarla. Inicialmente, esto consistirá en un eje seguido de dos filas para y . El eje estará marcado con los valores de que nos interesan para la fila respectiva, creando una columna para cada valor de que nos interesa y cada intervalo entre ellos.

En cuanto a encontrar esos , buscamos dos cosas:

Para cada uno de estos, agregamos una columna a la tabla de signos, con columnas adicionales entre ellos.

Para , lo que nos interesa es la pendiente a la izquierda y derecha de cada punto crítico, así como dónde está definida. Recuerda que la pendiente es cero en un punto crítico, por lo que el valor de la derivada alrededor del punto nos dirá si es un máximo local, un mínimo local o un punto de silla.

En cuanto a , nos interesa la concavidad de la función para ayudar en nuestro dibujo.

Insertamos esta información sobre la función en nuestra tabla de signos a medida que la obtenemos, y después de terminar deberíamos tener todo lo que necesitamos para esbozarla. Para ayudarnos en ese proceso, agregamos una última fila a la tabla de signos donde indicamos cómo tiende a verse en cada punto de interés, y en los intervalos entre ellos, basados en la información que hemos recopilado.

La lista de cosas que miramos antes de meternos en la parte del dibujo es larga, y se recuerda mejor cuando se ve en forma de un ejemplo.

Repasemos los pasos para realizar el boceto de la función:

Sin ningún denominador que pueda tender a a medida que se acerque a algún valor , la función no tiene asíntotas verticales que necesitemos considerar en la tabla de signos.

Aplicando la regla de la potencia una vez, encontramos que:

Ahora, otra aplicación de la misma regla, y obtenemos:

Primero, encontramos los puntos críticos estableciendo la derivada en cero:

Con poco esfuerzo vemos que los dos puntos críticos son y .

Ahora veamos el valor de la derivada alrededor de esos puntos. Nuestro ejemplo es diferenciable en todo el rango, por lo que podemos elegir cualquier punto que nos guste entre y fuera de los puntos críticos. Por simplicidad, elegimos , y :

Lo primero que buscamos son puntos de inflexión:

La expresión solo es cero donde el polinomio tiene raíces. Sin mostrar el cálculo aquí, esas raíces son y .

A continuación nos interesa la concavidad en los intervalos entre y fuera de esos puntos. Nuevamente, por simplicidad, elegimos algunos puntos , y para evaluar en:

es convexa para

es cóncava para

es convexa para

Lo primero que nos gustaría encontrar aquí son los valores de la función en los puntos críticos:

A continuación, buscamos las intersecciones para los ejes e de la función respectivamente. Al sustituir en la función, encontramos que la intersección para el eje es . Luego, simplemente mirando la función, determinamos que su única raíz es , por lo que no hay otra intersección para el eje .

Por último, nos gustaría encontrar asíntotas no verticales potenciales:

asíntota horizontal en

ninguna otra asíntota

El procedimiento ha sido largo, pero muy valioso. Después de completar la tabla de signos, se ve así:

Ahora es fácil dibujar un gráfico preciso de la función: