Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden
¿Qué es?
Las ecuaciones diferenciales son ecuaciones que relacionan una cantidad con su(s) derivada(s). A menudo llamaremos a la variable , ya que muchas de las aplicaciones se encuentran dentro del ámbito de sistemas dependientes del tiempo.
Una ecuación diferencial lineal de segundo orden tiene la forma genérica:
Las ecuaciones diferenciales pueden, por ejemplo, utilizarse para calcular cuándo necesitas desplegar tu paracaídas para evitar golpear el suelo con mucha fuerza.
Llamando a tu posición vertical , sería tu velocidad y tu aceleración.
Dados algunos datos como qué fuerzas afectan tu caída, a qué nivel del suelo saltaste y cuánto tiempo necesita el paracaídas para desplegarse, resolver la ecuación diferencial del paracaídas puede decirte a qué altura estarás en un momento dado.
Componentes y terminología
Desglosemos la ecuación y desenredemos un poco de terminología antes de ir a la caza de soluciones.
Los coeficientes y siempre serán constantes en este curso.
El término segundo orden en el nombre se refiere al orden más alto de la derivada en la ecuación, que es en nuestro caso. Existen ecuaciones diferenciales de orden arbitrariamente alto en el mundo.
Soluciones
Cuando el lado derecho es cero, decimos que la ecuación es homogénea:
Su solución se denomina .
En contraste, una ecuación inhomogénea tiene alguna función dada en un lado, lo que complica un poco las cosas. Además de la , necesitamos agregar una segunda expresión , llamada la solución particular, para obtener la forma general de la solución.
Observa que todos los términos , o en la ecuación se mantienen por sí mismos. Por ejemplo, no hay o . Esto es a lo que nos referimos con lineal en el nombre. La linealidad es necesaria para que los métodos de solución que utilizaremos funcionen.
Por la propiedad de linealidad, podemos encontrar primero dejando . Luego procedemos, encontrando una solución de modo que se satisfaga la condición para el lado derecho. Finalmente, la solución completa es:
La propiedad de linealidad también dice que si y resuelven ambos la ecuación homogénea, entonces también es una solución, dado que y son dos constantes arbitrarias.
Ecuaciones diferenciales homogéneas
Visitemos el mundo real por un momento.
Un carro de juguete está unido a una pared con un resorte y un amortiguador. Familiarízate con este tipo de configuración. Aparecerá una y otra vez, pero con ligeras variaciones. Disculpa la falta de imaginación.
El movimiento del carro se puede describir con la ecuación:
donde es la posición como función del tiempo. y son solo algunos valores, como por ejemplo y . Dado que no hay fuerzas externas, el lado derecho de la ecuación es .
A continuación, resuelve las raíces de . Esto se llama la ecuación característica.
Hay tres casos para la solución:
Si ambas raíces son distintas: entonces .
Si hay solo una raíz: entonces .
Si hay dos raíces complejas : entonces .
¡A los Dioses de las matemáticas les encanta el número !
Para asegurarse de que estas son soluciones a la ecuación diferencial, diferéncialas e insértalas en la expresión original, ¡confía en las matemáticas!
De acuerdo, haremos el primer caso por ti. Aquí vamos. Comencemos diferenciando :
Si insertaras todo en la ecuación original , obtendrías:
Reorganizando los términos, tenemos:
Intenta memorizar cada uno de estos casos - es una buena inversión.
Ecuaciones diferenciales inhomogéneas
A los físicos les encantan los problemas con carros. ¡Es muy divertido ver al carro moverse de un lado a otro, ver el resorte del carro expandirse y contraerse! Mejor aún, ¿qué pasa si tenemos a alguien aplicando otra fuerza?
En este ejemplo, hay un niño pequeño aplicando una fuerza al carro. La fuerza varía y se puede escribir como .
Llamemos a la posición . Después de un poco de física, podríamos terminar con una ecuación como esta:
Esta es una ecuación diferencial inhomogénea, porque el lado derecho no es . En cambio, tenemos un término . Qué asco.
La solución general se puede escribir como:
La solución homogénea es la solución a dada por el polinomio característico:
Así obtenemos algo como .
Pero, ¿qué pasa con la solución particular? Dado que aparece en el lado derecho, podríamos esperar que la solución particular contenga un término . No hay nada que perder en intentarlo, ¿verdad?
Usemos tentativamente . Entonces , , y:
Esto significa que:
Por lo tanto, la solución particular es:
La suerte favorece a quienes lo intentan. Y esto suele ser el caso cuando se trata de ecuaciones diferenciales. Para encontrar la solución particular, debes hacer una suposición cualificada.
En general, si el lado derecho es:
Un polinomio: deja que sea un polinomio del mismo grado. Si contiene soluciones al problema homogéneo, multiplica por .
Una función trigonométrica: deja que sea , donde es el mismo que en la función trigonométrica a la derecha. Si contiene soluciones al problema homogéneo, multiplica por .
Una función exponencial : deja que sea .
Si tu lado derecho es un producto de cualquiera de (1), (2) o (3), deja que sea tal producto, sin especificar los coeficientes.
Después de expandir lo que sea que tengas en el lado izquierdo, puedes determinar los coeficientes.
Condiciones iniciales o de borde
Al resolver una ecuación diferencial lineal de segundo orden, terminamos con una solución que contiene dos constantes. Independientemente de la forma de la solución, siempre están ahí. Mientras las constantes permanezcan sin decidir, hay un número infinito de soluciones para la ecuación.
Las constantes se determinan por valores iniciales: alguna información sobre el sistema en un punto específico en el tiempo. Necesitamos tantos valores iniciales como el orden de la ecuación.
Para una ecuación diferencial de orden , necesitamos valores iniciales para determinar todas las constantes
Esto no es casualidad. Resulta ser, que el orden determina el número de coeficientes, y cada coeficiente requiere un valor inicial o de borde para encontrarlo.
Una ecuación diferencial junto con las condiciones iniciales o de borde requeridas se conoce como un problema de valor inicial o problema de valor en el borde. Si la ecuación diferencial se puede resolver, esta configuración promete una solución completamente determinada.
El carro: el gran final
Hasta ahora, hemos determinado la solución al problema del carro hasta las constantes. Su posición es:
Pero eso no es muy informativo a menos que sepamos cuáles son las constantes.
Para determinar las constantes, necesitamos dos condiciones iniciales. Eso significa que necesitamos saber dos piezas de cualquiera de la siguiente información:
la posición ,
la velocidad , o
la aceleración
en algún momento dado.
Ahora, un pajarito me susurra en el oído la posición del carro en dos momentos diferentes:
Inserta estas una a la vez en la solución para y observa cómo todo encaja en su lugar.
Usando la segunda condición, lo terminamos:
La solución final está lista:
¡Insertar cualquier valor de en la ecuación ahora da la posición exacta del carro para ese momento!
