Métodos numéricos

A veces, usar los métodos que hemos visto para diferenciar o integrar es ridículamente difícil, o incluso imposible.

Entonces, necesitamos métodos numéricos. Estos métodos utilizan un conjunto de datos finito para aproximar una solución numérica a un problema. Las notas de esta sección introducirán una selección de métodos numéricos comunes. ¡Así que abróchense los cinturones y disfruten!

Cuando usamos un método numérico, a menudo comenzamos con algún valor inicial, que puede ser una suposición informada. Luego damos pasos hacia la solución. Cuanto más cerca necesitemos estar del valor real, más pasos necesitaremos dar. Depende de nosotros elegir cuán cerca necesitamos estar: el precio que pagamos es usar más potencia computacional.

Dada una función , podemos usar el método de Newton o, como también se llama, el método de Newton-Raphson para encontrar sus raíces. Requiere que la función sea diferenciable, y utiliza la ecuación de la línea tangente para encontrar una raíz.

Este es el método: comenzamos suponiendo que hay una raíz cerca de algún valor . Dibujamos la línea tangente en . A continuación, viajamos por la línea tangente hasta el eje , llamando a este nuevo valor .

Volviendo directamente a la curva de la función nuevamente, repetimos el procedimiento, dibujando la línea tangente en . Deslizándonos por esta línea tangente hasta el eje , encontramos lo que llamaremos .

Si seguimos repitiendo este procedimiento, podemos acercarnos arbitrariamente a la raíz. Mira cómo funciona para :

Observa que aquí, cuando ponemos obtenemos:

Por lo tanto, siempre que elijamos un punto de inicio apropiado, ¡podemos usar el método para encontrar un valor numérico para !

Derivamos el método más formalmente utilizando la ecuación de la línea tangente.

Recuerda que la línea tangente a en es:

Deslizarse por la línea tangente es equivalente a insertar el punto en la ecuación de la línea tangente. Dado que conocemos , esto nos permite determinar . Al reorganizar términos, obtenemos:

La fórmula sigue el mismo patrón para todos los puntos subsiguientes. Esta es la fórmula general para el método de Newton:

El método no funcionará si el punto de inicio o algún punto entre el inicio y la raíz es un punto crítico. Como la fórmula tiene la derivada del punto actual en el denominador, esto significaría dividir por cero, lo cual es un gran no.

También podemos tener problemas si la función tiene asíntotas verticales: no hay forma de saltar sobre ese vacío usando el método de Newton. En general, es una buena idea usar una suposición inicial que esté lo más cerca posible de la raíz que buscamos.

Si se evitan las falacias anteriores, siempre que sea continua cerca de la raíz y que exista el límite de la serie de aproximaciones , entonces el método será tu humilde servidor.

Las integrales pueden ser realmente complejas. Hay algunos trucos para calcular integrales, como la sustitución de y la descomposición en fracciones simples, pero ambos pueden involucrar cálculos laboriosos. Para calcular una integral como:

podrías necesitar varias hojas de papel. Y no obtendrás alguna expresión hermosa. En cambio, obtendrás un revoltijo de y . Qué asco.

Mientras haces tus cálculos, como el estudiante diligente que eres, ni siquiera sabes si encontrarás una solución. Es bastante deprimente. Especialmente en una situación de examen. Algunas integrales, como:

no se pueden resolver con los métodos cubiertos en este curso.

Pero las integrales son súper importantes! Se utilizan en todas partes: en finanzas, biología, física, etc. Las integrales son una parte integral del mundo moderno.

Necesitamos poder calcular integrales complejas de alguna manera, incluso se permiten métodos no convencionales. El método más básico para calcular integrales es la regla del trapecio.

Mira la imagen de arriba. La integral se puede aproximar por el área sombreada ,

Para hacer nuestra aproximación más precisa, usemos el mismo razonamiento para varios intervalos. Dado que los puntos medios se suman varias veces, terminamos con:

¿No crees que la regla del trapecio es un poco... básica? Divides la integral en trapecios y sumas su área. Eso es todo. Realmente es la forma más básica de aproximar una integral. ¿No podrían todos esos matemáticos inteligentes inventar algo más divertido? La regla del trapecio es como una pasta pesto, sin queso ni piñones. Básica, ¿verdad?

La regla del trapecio funciona, pero converge lentamente hacia el valor correcto. Necesitas disminuir bastante la longitud del paso para una mejora notable en precisión. Esto significa que necesitarás más evaluaciones de la función.

Si tienes poder computacional limitado y necesitas precisión de vanguardia, la regla del trapecio no será suficiente. Claro, nada te impide configurar la longitud del paso a . Pero tus nietos habrán muerto cuando tu computadora termine. O la computadora podría explotar o algo así.

Como corredor de bolsa, digamos que te gustaría calcular una integral horrible. La integral da el valor esperado de alguna acción, así que hay mucho en juego. En lugar de usar la regla del trapecio, será mejor que uses la regla de Simpson.

La idea aquí es aproximar la función con un polinomio cuadrático. Entonces la integral del polinomio es la integral original y obtendrías la aproximación

Ahora dividamos el eje y usemos la regla de Simpson en cada pedacito. Observa que el punto medio, , se multiplica por . Cuando sumamos todos los 's, los puntos finales se multiplican por , excepto los puntos finales más externos. La integral completa se puede aproximar por la suma de cada aproximación. Formalmente, obtenemos:

Arriba asumimos que n era par, para escribir nuestra suma de manera clara.

Esta es una aproximación aún más precisa. ¡Ahora estás listo para salir y comerciar acciones!