Sumas de Riemann y aproximación de integrales

Así que tienes un pedazo de plástico de aspecto curioso, un poco parecido a una parábola.

Ahora quieres saber cuánto pesa. De repente, una voz desde arriba dice que el trozo de plástico pesa gramos por cm. Así que todo se reduce a calcular el área del plástico, realmente.

Primero, encontrarás una función que describe la forma del trozo de plástico. Ahora imagina tomar una espada y cortar el pedazo de plástico en pequeños rectángulos, así:

Luego puedes aproximar el área sumando las áreas de los rectángulos. Y esto, amigos míos, es una suma de Riemann.

Como eres un poco torpe, cada rectángulo no es necesariamente tan ancho. Pero todavía puedes aproximar el área con todos esos rectángulos. En cuanto a la altura, puedes elegir cualquier valor de entre los bordes del rectángulo y usar . Quiero decir, el ancho de cada rectángulo ya es bastante pequeño, ¿a quién le importa qué eliges? Formalmente, aproximarías el área con una expresión como esta:

donde está entre y , y es el ancho. Aquí y son el menor y mayor en el intervalo que estamos aproximando.

A medida que el ancho de todos los rectángulos disminuye, tu aproximación mejora cada vez más. Al tomar el límite a medida que el ancho se acerca a - obtienes una integral. Esto es, en gran medida, la definición de una integral. En este caso, tu integral resulta ser:

El peso del trozo de plástico es entonces:

¡y así de fácil, estamos listos!

Tu madre te lleva a la escuela en coche. Digamos que te gustaría saber la distancia de frenado cuando el coche se detiene frente a un semáforo en rojo. Las preguntas sobre distancias de frenado aparecen todo el tiempo en el examen de conducir, así que esto podría ser de alguna importancia práctica.

No quieres enredarte en las reglas de la física, tratando de construir alguna fórmula para la velocidad. En cambio, utilizas un enfoque práctico.

He aquí la idea. Observa el velocímetro cada segundos. Como eres superhumano, eres capaz de recordar todas estas velocidades. Para aproximar la distancia recorrida en esos segundos, multiplica la velocidad por el tiempo. Luego suma todas esas distancias.

Pero puedes aproximar la distancia de dos maneras, como se muestra en las imágenes.

Esta aproximación, hecha por las barras sobre el gráfico, se llama suma superior. Para calcular la distancia en el primer intervalo, usas la velocidad más alta. Los matemáticos dicen que la suma superior más pequeña se llama el ínfimo de la suma superior.

Aquí está la suma inferior. Para calcular la distancia en el primer intervalo, usas la velocidad más baja. Esto se llama el supremo de la suma inferior, que significa la mayor suma inferior.

La distancia real está en algún punto entre la suma superior y la suma inferior.

Después de tomar una taza de café, estás más alerta. Ahora puedes recordar la velocidad y realizar todas las multiplicaciones de "velocidad por tiempo" para intervalos de tiempo más pequeños, cada segundos. Entonces la diferencia entre la suma superior y la suma inferior disminuye. Si no puedes hacer que el supremo de alguna suma superior sea igual al ínfimo de una suma inferior, la función no es integrable.

La idea de sumas superiores e inferiores se extiende a gráficos que asumen valores tanto positivos como negativos. Si la función corresponde a la velocidad, y el valor de es negativo, significa que te estás moviendo hacia atrás.

Aquí está la suma inferior:

Y análogamente, aquí está la suma superior:

Si es una función monótonamente decreciente, entonces tenemos:

Supongamos que queremos aproximar el área bajo la curva de tal función entre dos enteros y . Podríamos dividir el intervalo en subintervalos de ancho , luego construir una suma superior en el intervalo considerando siempre el punto izquierdo de cada subintervalo, y una suma inferior tomando los puntos derechos.

Dado que el punto derecho de un intervalo es el punto izquierdo del siguiente, las únicas dos barras que no se incluirán en ambas sumas serán la primera en la suma superior y la última en la inferior.

Ahora, el área real, obtenida integrando , puede ser encapsulada por las dos sumas de acuerdo con esta desigualdad:

Aunque no sea inmediatamente obvio, esto implica lo siguiente:

En palabras, podemos encerrar una suma de términos monótonamente decrecientes entre dos integrales. Este concepto se emplea para determinar la convergencia de una serie en la prueba de Cauchy.

Demostrar que la serie siguiente diverge:

Para averiguar si la serie diverge, encerramos la serie entre dos integrales:

Luego estudiamos nuestra integral:

Entonces encontramos que:

Por lo tanto, la función diverge.

Mostrar que la serie siguiente converge.

Encerramos la función, utilizando integrales:

Luego evaluamos las integrales:

Haciendo esto, encontramos lo siguiente:

lo que demuestra que la serie debe converger.

Como vimos en ambos ejemplos, la convergencia o divergencia de las integrales determina si las series convergen o divergen.