Om en vektor kan uttryckas som en linjär kombination av andra vektorer, betraktas de som linjärt beroende. Om inte, anses vektorerna vara linjärt oberoende.

Gram-Schmidt är en algoritm för att hitta en ON-bas för ett givet delrum. Indatat till algoritmen är en känd, icke-ON-bas, och sedan appliceras projektionssatsen i en sekvens för att hitta basvektorerna en efter en.

Bemästra linjär algebra - Förstå matriser, determinanter och linjära avbildningar

I den här kursen ger vi en omfattande översikt av linjär algebra, inklusive nyckelbegrepp som vektorrum, linjära avbildningar och matrisoperationer.

Innehållsförteckning

Vad ingår i en kurs i linjär algebra?

Följande 28 avsnitt ingår vanligtvis i en kurs i linjär algebra

1. Vektorbegreppet

En vektor inom fysik representerar en kraft med en given riktning, storlek och ursprung. Men i linjär algebra har en vektor de två första egenskaperna men saknar ursprung. Därför går den att flytta om man vill.

2. Linjer och plan i rummet

Ekvationen för en rät linje definieras endast för två dimensioner. Det hindrar dem dock inte från att existera i högre dimensioner, där vi definierar dem i parameter- eller vektorform.

3. Linjära ekvationssystem

Att bunta ihop flera ekvationer skapar ett ekvationssystem, och en lösning för systemet måste lösa var och en av systemets ekvationer. Systemet sägs vara linjärt om varje ekvation har formen: $$ a_1x_1 + a_2x_2 + \ldots + a_nx_n $$

4. Gauss-Jordan

Gauss-Jordan är en metod för att lösa ett linjärt ekvationssystem. Varje system faller in i ett av tre fall; unik lösning, inga lösningar eller oändligt många lösningar.

5. Matrisaritmetik

Matrisaritmetik definieras för addition, subtraktion och multiplikation. För de två förstnämnda måste matriserna ha lika stora dimensioner och operationerna är kommutativa. Multiplikation är dock inte kommutativ och definieras endast för när antalet rader i den vänstra matrisen är lika med antalet kolumner i den högra matrisen.

6. Inversa matriser

Inversen till en matris är en annan matris, och produkten av matrisen och dess invers är identitetsmatrisen.

7. Linjärt beroende

Om en vektor kan uttryckas som en linjär kombination av andra vektorer, betraktas gruppen som linjärt beroende. Om inte, anses vektorerna vara linjärt oberoende.

8. Lösningsrum

Ett lösningsrum är vektorrummet som innehåller alla lösningar till ett givet system. Det följer egenskaperna för vektorrum, så om $\vec{x}_1$ och $\vec{x}_1$ är lösningar på $$A\vec{x} = \vec{b}$$ då har vi att $$k_1\vec{x}_1 + k_2\vec{x}_2$$ är en lösning för alla värden på $k_1,k_2$.

9. Matriser med specialformer

Tre typer av matriser av speciell form är diagonala matriser ($D$), triangulära matriser ($T$) och symmetriska ($S$) och skevsymmetriska matriser ($S_k$). $$ \begin{aligned} D &= \left[\begin{array}{cc} d_1 & 0 \\ 0 & d_2 \end{array}\right] ,\quad T &&= \left[\begin{array}{cr} t_1 & \phantom{-}0 \\ t_2 & t_3 \end{array}\right] \\ S &= \left[\begin{array}{cc} s_1 & s_2 \\ s_2 & s_3 \end{array}\right] ,\quad S_k &&= \left[\begin{array}{cr} s_1 & -s_2 \\ s_2 & s_3 \end{array}\right] \end{aligned} $$

10. Determinanter

Determinant är en skalär representation av en matris, definierad av en specifik beräkning. Den geometriska tolkningen är att det är en skalfaktor för den linjära transformation matrisen representerar. Den talar också om huruvida systemet av linjära ekvationer som matrisen representerar har en unik lösning eller inte.

11. Kryssprodukt, area och volym

Kryssprodukten är en beräkning mellan två vektorer i tre dimensioner, och resultatet är en tredje vektor som är unik och ortogonal mot de två första. Längden på den resulterande vektorn är lika med arean av parallellogrammet som de två vektorerna spänner över. Kryssprodukten kan också användas för att beräkna volymen av en parallellepiped, som en del av beräkningen som kallas trippelprodukt. Givet volymen som spänner över de tre vektorerna, beräknar man en korsprodukt mellan två av dem och gör sedan en punktprodukt mellan den resulterande vektorn och den tredje vektorn.

12. Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer är relaterade till en given kvadratisk matris A. En egenvektor är en vektor som inte ändrar riktning när den multipliceras med A, den kan dock ändra sin längd. I tillämpliga fall ändras längden med en skalär, som är motsvarande egenvärde till egenvektorn.

13. Linjära avbildningar

Alla matrismultiplikationer är linjära transformationer. För det allmänna fallet kan en transformation ses som en funktion, eller en svart låda, som för varje given ingång har en utgång. Definitionen för att transformationen ska vara linjär är att operationen är konsekvent för två ingångselement, i vårt fall två vektorer. Låt L vara en transformation, x och y vara vektorer och c och k vara skalärer. Då är L en linjär transformation om, och endast om, $$L(cx + ky) = cL(x) + kL(y)$$

14. Kärnan och bildrummet

Kärna och bild är delrum som hänför sig till en linjär transformation L representeras av standardmatrisen A. Kärnan hänvisar till lösningsutrymmet för det homogena system av linjära ekvationer som matrisen A representerar, vilket betyder lösningarna till $$Ax = 0$$ Bilden hänvisar till underrummet för alla resulterande vektorer y från multiplicering av matrisen A med alla möjliga vektorer x. $$Ax = y$$

15. Sammansättning av linjära avbildningar

Sammansättningar av linjära transformationer handlar om att behandla flera linjära transformationer i sekvens. Låt oss till exempel säga att $T$, $R$ och $S$ är linjära transformationer. En sammansättning är då till exempel utdatat $y$ av vektorn $x$ för $$T \circ R \circ S(x) = y$$

16. Baser och dimension

En bas är en uppsättning linjärt oberoende vektorer (till exempel $\vec{v_1}, \ldots \vec{v}_n$) som spänner över ett vektorrum eller delrum. Det betyder att vilken vektor som helst $\vec{x}$ som hör till det utrymmet kan uttryckas som en linjär kombination av basen för en unik uppsättning konstanter $k_1, \ldots k_n$, såsom: $$ \vec{x} = k_1\vec{v}_1 + \ldots + k_n\vec{v}_n $$ Vektorutrymmets dimension motsvarar antalet vektorer som krävs för att bilda en bas (basen är inte unik). I det här exemplet, $n$.

17. Nollrum och kolonnrum

Nollrummet (eller vanligtvis kallat kärna) och kolonnrummet (eller vanligen kallat bild) är utrymmen relaterade till en viss matris $A$. Nollrummet är enkelt och enkelt namnet på lösningsutrymmet för den homogena ekvationen $A\vec{x} = \vec{0}$. kolonnrummet (eller vanligen kallat bild) är intervallet för den linjära transformationen med standardmatrisen $A$, vilket betyder alla möjliga vektorer $\vec{y}$ som kan mappas till via en multiplikation med $A $, så att $A\vec{x} = \vec{y}$.

18. Dimensionssatserna

Dimensionsteoremet gäller en matris och dess rang (dimension av kolumnutrymme) och nullitet (dimension av nollutrymme). Låt $A$ vara en $m \times n$ matris, då har vi enligt dimensionssatsen att: $$ \operatorname{rank}(A) = \operatorname{nullitet}(A) = n $$

19. Projektioner

Med projektion hänvisar man vanligtvis till ortogonal projektion av en vektor på en annan. Resultatet är det representativa bidraget från den ena vektorn längs den andra vektorn som projiceras på. Föreställ dig att ha solen i zenit, kasta en skugga av den första vektorn strikt ner (ortogonalt) på den andra vektorn. Den skuggan är då den ortogonala projektionen av den första vektorn till den andra vektorn.

20. Minstakvadratmetoden

Minstakvadratmetoden (även minsta-kvadrat-metoden, minstakvadratenmetoden eller minsta kvadrat-metoden) är en metod som används för dataanalys och statistik. Det används för att beskriva sambandet med ett antal observationer och deras förklarande variabler. Låt oss säga att du har ett antal observationer (xn,yn), av vilka du skulle vilja modellera sambandet med en linjär ekvation $$c_1x + c_2 = y$$ där $c_1$ och $c_2$ är konstanter vill vi bestämma så att vi får den optimala anpassningen för vår linje till data. Detta görs genom att minimera summan av alla fel, det vill säga avståndet till linjen och var och en av de observerade datapunkterna. Detta är faktiskt enkelt att beräkna genom att först transformera systemet med linjära ekvationer till matrisekvationen $$Ac = y$$ och sedan multiplicera med transponeringen av matris A från vänster på båda sidor $$A^TAc = A^Ty$$ vilket resulterar i ett kvadratiskt matrissystem som har en unik lösning. Lösningen är vektorn c, som består av våra sökta konstanter $c_1$ och $c_2$.

21. Gram-Schmidt

Gram-Schmidt är en algoritm för att hitta en ON-bas för ett givet delrum. Ingången till algoritmen är en känd, icke-ON-bas, och när projektionssatsen tillämpas i en sekvens kommer basvektorerna att hittas en efter en.

22. Basbyten

En bas är en uppsättning vektorer som är linjärt oberoende och spänner över ett delrum. En vektor är ett element i ett delrum, där dess koordinater är de skalära representanterna för den linjära kombination som kan uttryckas av basvektorerna. Eftersom en bas inte är unik för ett delrum, kan varje vektor till det delrummet uttryckas med koordinater för var och en av dess baser.

23. Linjära avbildningar och baser

En linjär transformation är alltid med avseende på en given bas. En vanlig utmaning är att bestämma standardmatrisen A för en linjär transformation givet en annan bas.

24. Diagonalisering

Diagonalisering är en process för att sönderdela en kvadratisk $n$ x $n$ matris $A$ till produkten av tre matriser; $D$, $P$ och $P^{-1}$ som t.ex $$A = PDP^{-1}$$ där $D$ är en diagonalmatris som består av egenvärdena till $A$ och $P$ är en kvadratisk matris där kolumner är egenvektorerna till $A$. Observera att inte alla kvadratiska matriser kan diagonaliseras, bara de av vilka egenvektorer spänner över rymden Rn

25. Ortogonal diagonalisering

Ortogonal diagonalisering är detsamma som vanlig diagonalisering, med det utökade kravet på egenvektorerna som behövs för att bilda en ON-bas för $R^n$. Endast symmetriska matriser är ortogonala diagonaliserbara. Processen att bestämma vektorerna för matrisen $P$ är genom att tillämpa Gram-Schmidt. Sedan, genom egenskapen hos symmetriska matriser, har du det $$A = PDP^{-1} = PDP^T$$

26. Kvadratisk form

Ekvationer av formen $$a_1x_1^2 + a_2x_2^2 + ... + a_nx_n^2$$ + alla möjliga korstermer $a_kx_ix_j$ med distinkta $x_ix_j$ kallas kvadratiska former och kan uttryckas med en unik matris $A$ $$x^TAx$$ och dess geometriska form kan bestämmas genom att studera egenvärdena för matrisen $A$.

27. Allmänna vektorrum

Vektorrum behöver inte byggas upp av siffror, de skulle kunna tillämpas från ett mycket mer generellt tillvägagångssätt. En populär tillämpning i en kurs av linjär algebra är att täcka polynomrum, där varje element i rummet är ett polynom. Förvirrande? Det kan vara i början, men det är inte så svårt som det verkar vid första anblicken. Det avgörande är att känna till axiomen som definierar ett vektorrum V, och att hålla sig till dem. Dessa axiom är:

Rummet V är stängt vid addition och skalär multiplikation
Addition är både kommutativt och associativt
Skalär multiplikation är både kommutativ och associativ
Förekomsten av en identitet och invers för addition
Förekomsten av en identitet och invers för skalär multiplikation

28. Allmänna linjära avbildningar

Vad är linjär algebra?

Linjär algebra är en gren inom matematik som bland annat studerar ekvationer på formen: $$a_1x_1 + a_2x_2 + \ldots + a_nx_n = b$$ Oftast studerar man linjär algebra först på universitetet, men det finns de som får en lättare introduktion till ämnet redan under gymnasiet. Många associerar en kurs i linjär algebra med vektorer , matriser, linjära ekvationssystem , linjer och plan . Alla associationer är rätt och kan även utläsas från ekvationsformen ovan.

Vanliga frågor

Vad är en linje i linjär algebra?

Om ekvationen är tvådimensionell är den en linje: $$a_1x_1 + a_2x_2 = b$$

Vad är ett plan i linjär algebra?

Om ekvationen är tredimensionell är den ett plan: $$a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 = b$$

Vad är ett ekvationssystem?

Om vi har flera ekvationer på samma form kan dessa betraktas som ett ekvationssystem. Definitionen av en lösning till systemet måste lösa samtliga ekvationer i systemet. Ett ekvationssystem kan skrivas om till: $$A\vec{x} = \vec{b}$$ med hjälp av matrisen ($A$) och de två vektorerna $\vec{x}, \vec{b}$.

Vad är en vektor?

En vektor i linjär algebra brukar hanteras som en grupp siffror och är en koordinatrepresentation. Flera exempel från olika dimensioner, alltså antal koordinater, är: $$(1,2), (1,-4,2), (99, 104, 3, -7)$$ Medan en vektor i fysiken brukar ritas som en pil och representerar en kraft med en riktning och storlek. Bilden av att en vektor är en kraft brukar hänga med i matematiken, men här studeras vektorer i en abstrakt betydelse. I praktiken kan en vektor vara väldigt mycket mer än en kraft i fysiken. Det kan vara en lista med information i programmering, en bild inom bildanalys, en aktiekurs förändring över tid inom finans, och mycket mer.

Vad är kryssprodukt?

Vad används linjär algebra till? - 7 praktiska användningsområden

Linjär algebra är hörnstenen i allt vi ser i vår vardag. Det är tack vare linjär algebra vi får Boeing att flyga, Tesla att rulla och Spotify att spela. Linjär algebra är även grunden i maskininlärning (machine learning) som har en rad applikationer, som att Siri känner igen ditt ansikte, Alexa känner igen din röst och att H&M maximerar sin försäljning online. Men hur kan linjär algebra vara kritiskt för alla vitt skilda applikationer? Studenter brukar säga att kursen känns abstrakt, vilket till viss grad stämmer. Fördelen med ett abstrakt verktyg är att bara fantasin sätter gränser för användningsområdet.

1. Kryptering

Ett smart sätt att skydda den privata information vi skickar till varandra är genom kryptering och dekrypteringsprocesser som involverar inversa matriser. För att säkerställa att en avlyssnare inte kan läsa ett meddelande som skickas elektroniskt, krypterar vi det, förvränger och ordnar om symbolerna så att de ser ut som nonsens. För att rätt person ska kunna läsa det måste meddelandet sedan dekrypteras vid mottagandet.

Med hjälp av en teknik som kallas Hill Cipher kommer avsändaren och mottagaren överens om en matris att använda för att kryptera meddelanden. Eftersom mottagaren vet det kan de använda inversen av matrisen för att dekryptera meddelandet. Detta gör meddelandet läsbart igen.

2. Datortomografi

En datortomografi är ett medicinskt bildsystem som skjuter röntgenstrålar genom en kropp från många olika vinklar. Utifrån dessa röntgenbilder kan vi konstruera en bild av hur kroppen ser ut på insidan. Men har du någonsin undrat hur bilden egentligen är uppbyggd?

Svaret är givetvis med matematik, speciellt med den så kallade Radon-transform. Radon-transform är en typ av integrerad transformation, som är en allmän linjär transformation.

3. Digitala fotofilter

En pixel hänvisar till en liten region på din skärm representerad av tre siffror mellan 0 och 255 som indikerar intensiteten för den röda, gröna respektive blå komponenten. Vi använder pixlar för att skapa digitala bilder, och för att ändra utseendet på en bild, justerar vi värdena på dess pixlar.

Om du ställer in färgerna till liknande värden skapas en gråskalebild och en ökning eller minskning av dem kommer att resultera i ett ljusare respektive mörkare utseende. Genom att ändra intensiteten hos de tre komponenterna i de ingående pixlarna, finns det oändliga andra sätt på vilka bilder kan manipuleras för att förbättra vissa funktioner. Matrisaritmetik gör det möjligt för oss att göra det effektivt. Följaktligen är det en del av matematiken att tacka för filtren som får dina Instagram-inlägg att se fantastiska ut.

4. Prissättning inom t.ex. försäkring

Röda bilar är överrepresenterade i statistiken över trafikolyckor, men varför är inte försäkringskostnaden för röda bilar högre än för annanfärgade bilar av samma modell? När man gräver lite djupare finner vi att det inte är färgen röd i sig som är en riskfaktor på vägarna, utan färgen är kopplad till andra egenskaper som är det. Rött är en vanlig färg för sportbilar, som tenderar att ha kraftfulla motorer och manliga förare. De tenderar också att ha ett högt pris.

Kostnaden för försäkringen är linjärt beroende av bilens värde och krockrisken, det vill säga om dessa går upp så ökar försäkringsavgiften med ett proportionellt belopp. Sannolikheten för att en bil har röd färg och dess försäkringskostnad beror på samma parametrar, men påverkar inte varandra direkt.

5. Sökmotorer

Datorer utför ofta beräkningar på matriser och det visar sig att speciella typer av matriser där många av deras element är noll gör beräkningar både snabbare och mer exakta.

Larry Page och Sergey Brin, grundarna av Google, visste allt om hur datoraritmetiken fungerar och hur man optimerar den. Detta möjliggjorde revolutionen på sökmotormarknaden som Google åstadkom, vilket ökade både frekvensen av relevanta träffar på webben per mångfald jämfört med deras konkurrenter.

6. Ansiktsigenkänning

Ansiktsdetekteringssystem används för att belysa skillnaderna mellan människors ansikten så att endast rätt person ges tillgång. Sådana program förlitar sig mycket på konceptet egenvektorer.

Det visar sig att mänskliga ansikten är linjärt beroende av kombinationer av vissa särskiljande egenskaper, såsom hårfärg, nässtorlek, avstånd mellan ögon och så vidare. För att korrekt konstruera dessa funktioner behöver systemet många bilder på människor att lära sig av, men efter att det har beskrivit de viktiga aspekterna av ansikten kan en mycket mindre mängd specialbilder användas för att rekonstruera och jämföra någon av personerna.

Dessa speciella bilder kallas för egenansikten. Namnet kommer från det faktum att de i huvudsak är egenvektorer till en matris som innehåller information om ansiktsdragen som finns bland mängden givna bilder. Motsvarande egenvärden ger ett mått på hur viktigt respektive egenansikte är för att skilja mellan olika personer.

7. Självkörande bilar

Precis som mänskliga förare måste självkörande bilar ständigt skanna vägarna efter hinder och vägskyltar för att trafikera våra gator på ett säkert sätt. För att kunna göra det är bilen utrustad med kameror som tar snapshots av omgivningen med mycket korta intervaller. Men hur vet bilen om Volvon framför den nonchalant kör på vägen, eller har stannat plötsligt till följd av en olycka?

Svaret är linjära avbildningar. En bild av en bil långt borta har en helt annan pixelrepresentation jämfört med en närbild av samma bil. Det finns dock ett linjärt samband mellan bilderna, eftersom bilen i sig inte ändrar sitt utseende. Genom linjära avbildningar som zoomar och roterar bildsekvensen kan den självkörande algoritmen bestämma beteendet hos bilen framför och agera därefter.

Är linjär algebra svårt?

Linjär algebra brukar anses som en svår tröskel för studenter att ta sig över. Utöver att det är en ny värld inom matematiken som presenteras så kommer även ett nytt språk med massa inkonsekvent användande. Dessutom brukar engelskan vara en ytterligare tröskel för alla studenter som inte har engelskan som modersmål. Svåraste momenten i linjär algebra brukar vara linjära avbildningar , basbyten och linjära avbildningar med avseende på annan bas.

Varför heter det linjär algebra?

Linjär algebra kallas "linjär" eftersom den handlar om linjära ekvationer och linjära avbildningar . En linjär ekvation är en ekvation där variabelns högsta potens är 1. Till exempel är $2x + 3 = 0$ en linjär ekvation, medan $x^2 + 4x + 3 = 0$ inte är det. Linjära ekvationer kan representeras grafiskt som raka linjer.

En linjär avbildning är en transformation av ett vektorrum som bevarar operationerna för vektoraddition och skalär multiplikation. Det är med andra ord en funktion som mappar en vektor till en annan på ett sådant sätt att egenskaperna hos vektorer och skalärer bevaras.

Linjär algebra behandlar också begrepp som matriser, determinanter, egenvärden och egenvektorer, som används för att representera och manipulera linjära ekvationer och transformationer. Alla dessa begrepp har speciella egenskaper när det kommer till linjäritet det är därför namnet är linjär algebra.

Bra översikt för linjär algebra och kort att-göra-lista

Vi jobbar hårt för ge dig kunskap kort, koncist och pedagogiskt. Tvärtom till vad amerikanska böcker gör.

Få uppgifter till gamla tentor för linjär algebra indelade i kapitel

Trixet är att både lära sig teorin och öva på extentor. Vi har kategoriserat dem som gör det extra enkelt.