Ett tidigt exempel på linjära ekvationssystem
Året är 179 och vi är i Kina. Arbetet med att sammanställa resultat från matematiker i regionen under ett årtusende har precis avslutats.
Resultatet är på väg att bli det viktigaste verk som producerats på kinesiska i matematikens historia: The Nine Chapters on the Mathematical Art .
Ett av de nio kapitlen i boken är tillägnat metoden för att lösa linjära ekvationssystem.
Redan vid den här tiden hade kineserna insett den praktiska användningen av att formulera och lösa problem med denna teknik, där ett exempel i boken handlar om att jämföra skörden av olika spannmålssorter.
Procedurerna för att lösa ett linjärt ekvationssystem ger ofta upphov till variabler som har negativa koefficienter, och The Nine Chapters on the Mathematical Art är den tidigaste kända litteraturen som handlar om begreppet negativa tal.
Linjära ekvationsystem - hur löser man flera okända variabler?
En ekvation med en okänd variabel, som , har bara en lösning. I det här fallet . Enkelt, eller hur?
Om vi lägger till en andra variabel till ekvationen blir problemet mindre trivialt. har oändligt många kombinationer av värden för och som lösningar. För att få bestämda värden behöver vi två olika ekvationer.
Att hitta unika värden för ett antal okända kräver samma antal ekvationer
Vi använder system för att gruppera ekvationer vars variabler vi vill bestämma. System av linjära ekvationer innehåller endast variabler multiplicerade med enkla tal.
Linjära ekvationssystem - vad beskriver lösningen?
Ett mer välbekant sätt att uttrycka ekvationen är som en funktion av med avseende på :
Detta är ekvationen för en linje, och vilken punkt som helst på den linjen ger en lösning på .
Med fler variabler beskriver ekvationerna mer komplicerade objekt, men sättet att lösa det är alltid detsamma.
En lösning är en punkt på objektet, och för ett ekvationssystem måste vi hitta punkter som är gemensamma för alla beskrivna objekt.
Detta kan göras med hjälp av elimineringsmetoden som systematiskt tar bort en av variablerna åt gången tills lösningen lätt kan erhållas.
Om detta inte går att göra finns det inga lösningar, men det kan också visa sig ha ett oändligt antal lösningar.
System av linjära ekvationer - introduktion, lösningar och geometriska tolkningar
Introduktion
Ett exempel på en linjär ekvation är ekvationen för linjen eller för ett plan. Den generella formen är
Specialfallet då sista konstanten är lika med noll kallasför homogen ekvation. Lägg även märke till att variablerna är av av första graden (saknar potens). Vidare finns ingen produkt av variablerna ( ).
En samling av flera linjära ekvationer kallas för ett system av linjära ekvationer eller ett linjärt ekvationssystem. En lösning till systemet måste då vara en lösning för samtliga ekvationer. Den generella formen för ett ekvationssystem är
och motsvarande för det homogena systemet som har 0 som högerled
Lösningar
En lösning till en ekvation är en punkt i och särskilt kan man se att origo alltid är en lösning till ett homogent system. Generellt gäller exakt ett av följande tre lösningsfall för varje linjärt ekvationssystem
En unik lösning,
oändligt många lösningar eller
inga lösningar.
Ett system som har minst en lösning kallas ett konsistent system, medan ett system som saknar lösningar kallas ett inkonsistent system.
En unik lösning betyder alltid att lösningen är en punkt. Vad inga lösningar betyder kräver knappast någon vidareutveckling, medan fallet för oändligt många lösningar är det som är kittlande. Oändligt många lösningar (punkter) låter kaotiskt, som att de förekom slumpmässigt i rummet, men de följer alltid en geometrisk form. Antingen formar dessa oändligt många punkter en linje, ett plan eller ett hyperplan.
Geometrisk tolkning
Ett bra exempel för att mogna förståelsen för ekvationssystem och dess lösningar (även kallat lösningsmängd) är exemplet i rummet där varje ekvation är ett plan
Då följer åtta möjligheter som vart och ett tillhör ett av tre lösningsfall för ekvationssystemet.
