Bemästra flervariabelanalys - Förstå partiella derivator, jacobi och multipelintegraler

Lär dig mer om nyckelbegrepp som t.ex. partiella derivator, multipelintegraler och vektoranalys och se hur de används inom områden som fysik, teknik och ekonomi. Bemästra begreppen och ta din förståelse till nästa nivå med våra lättförståeliga förklaringar och exempel.

Innehållsförteckning

Vad ingår i en kurs i flervariabelanalys?

Följande avsnitt ingår vanligtvis i en kurs i flervariabelanalys

1. Coordinates

Coordinates are sets of numbers describing positions in space, as distances from some reference point. We need as many numbers as the space has dimensions to uniquely determine the location of each point.

2. Vector valued functions

Vector valued functions are mappings from any number of inputs, to vectors which have at least two components.

3. Curves and parametrization

Parametrization refers to the process of expressing relations between variables that depend on each other in terms of independent variables, called parameters. This is useful to describe geometrical objects such as curves and surfaces.

4. Functions of several variables

Functions of several variables has a domain that is multi-dimensional. Hence, a function of $n$ variables takes a set of $n$ numbers as its input.

5. Limits and continuity

Continuity for a function of several variables implies that the limit exists as one and the same value in all directions. That is to say that no irregularities arise from slightly changing one or more of its input variables.

6. Geometry

Geometry is a field of mathematics concerned with spacial objects. It provides ways of formally quantifying intuitive concepts such as distance, shape and size.

7. Partial derivatives

A partial derivative is the analogous of regular derivatives for functions of several variables. In fact the process is just the same, and when taking the partial derivative of a function with respect to one variable, all the others are treated as constants. The partial derivative of a function in $x$ and $y$, with respect to $x$, is denoted as: $$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$$

8. Gradients

The gradient of a function of several variables is a vector that points in the direction of greatest increase, and its magnitude gives the corresponding rate of change. To form the gradient, we take all the partial derivatives of the function and use these as the vector's components. Usually, the symbol $\nabla$ is used to denote the gradient: $$\nabla f(x,y) = \left[\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}, \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \right]$$

9. Differentials

Differentials is the notion of infinitesimal changes in variables. The essence of differential calculus is the relations between such changes, which are obtained through derivatives. A differential is signified by putting a $d$ in front of the variable, and for functions that depend on several independent variables, the relative change is additive: $$df(x,y) = \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dx + \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}dy$$

10. Extrema

Extrema of a function occur for inputs where it takes on its largest (maxima) and smallest (minima) values. They can be considered over all space (global extrema), or in a confined region (local extrema).

11. Optimization

Optimization is a branch of mathematics concerned with finding maximum possible improvement. With a function describing the quantity we want to enhance, optimization refers to finding the inputs that correspond to extrema. In practice, all input combinations are not always feasible, and only local extrema may be available. This is referred to as constrained optimization.

12. Implicit functions

Implicit functions relate quantities that depend on each other, without stating a direct causal relationship. In contrast to explicit functions that are formulated in terms of only independent variables, implicit ones are equations containing both dependent and independent variables.

13. Jacobian

The Jacobian of a vector value function is a matrix containing all of the first partial derivatives, inserted in a certain order, which represent the coefficients of a linear approximation of the function. In 2D, the Jacobian looks as follows: $$ J(u,v) = \left[\begin{array}{cc} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{array}\right] $$

14. Double integrals

A double integral considers the integration over two variables simultaneously. This extra dimension makes the integration correspond to calculating the volume under a surface, rather than the area under a curve. Two nested integral signs denote this process: $$I = \int_{y_0}^{y_1} \int_{x_0}^{x_1} f(x,y) \;dx \;dy$$ When evaluating the expression, we perform a regular integration twice; once for each variable, and the respective order does not matter.

15. Triple integrals

Triple integrals are are concerned with three variables of integration. The process of evaluating the integral of three independent variables in sync, i.e. taking the triple integral, can be interpreted as calculating the mass of some density function defined in a region of 3D space. We write it as three nested integrals: $$I = \int_{z_0}^{z_1} \int_{y_0}^{y_1} \int_{x_0}^{x_1} f(x,y,z) \;dx \;dy \;dz$$ The calculation is done just like for double integrals, only with one more integral to evaluate.

16. Taylor approximation

A Taylor approximation of a function expresses it in terms of its value at some reference point, and how it changes around that point. For a function of several variables, the rates of change are given by the partial derivatives of the function, and in principle all partial derivatives are needed to perfectly represent the function. This could result in an infinite sum, referred to as a Taylor series, and a finite truncation is then a Taylor approximation.

17. Vector and scalar fields

The vector field is a region in space where each point is associated with a vector. These can be assigned by a vector valued function that maps coordinates to the components making up such vectors. If a function of coordinates outputs only a single number, the result is instead a scalar field. In other words, a field is nothing but a function of the same number of variables as the dimensionality of the space it lives in, and the number of outputs determines the type of the field.

18. Line and surface integrals

A line integral is a single integral, but in contrast with regular integrals, the curve we're integrating over may stretch across multiple dimensions. Similarly, a surface integral is a double integral over a region that is not confined in only two dimensions. To evaluate line and surface integrals, the trick of parametrization is often employed.

19. Vector calculus

Vector calculus is the extension of differentiation and integration to vector fields. The techniques are primarily employed for vector fields in two and three dimensions, but the theory applies to any number of dimensions.

20. Vector calculus theorems

The most fundamental results of vector calculus are summarized in three theorems: Stoke's theorem, Green's theorem, and the divergence theorem. These properties of vector fields treat the phenomena of flux, curl, and divergence.

Vad är flervariabelanalys?

Flervariabelanalys, även känd som analys i flera variabler, är en gren av matematiken som handlar om analys av funktioner med flera variabler. Den bygger på begreppen från envariabelanalys och utvidgar dem till problem som involverar flera dimensioner och flera variabler.

Flervariabelanalys behandlar egenskaperna och beteendet hos multivariabla funktioner, inklusive partiella derivator, multipelintegraler (dubbelintegraler, trippelintegraler) och vektoranalys. Denna gren av matematik är väsentlig inom områden som fysik, teknik och ekonomi, där kvantiteter och system kan förändras med avseende på mer än en oberoende variabel. Det används också för att modellera verkliga problem och analysera beteendet hos system med flera dimensioner.

Vanliga frågor

Vad är en partiell derivata?

En partiell derivata är en derivata av en multivariabel funktion med avseende på en variabel, samtidigt som den håller de andra variablerna konstanta. Det representerar förändringshastigheten för en funktion längs en riktning i det multivariabla rummet.

Vad är en trippelintegral?

Grundidén bakom en trippelintegral är densamma som för en dubbelintegral, vilket är att hitta volymen av en tredimensionell region genom att dela upp den i små underregioner och summera värden för funktionen över alla dessa underregioner.

Trippelintegraler används också för att utvärdera massa, tröghetsmoment och andra kvantiteter för fasta kroppar eller massfördelningar.

Vad är vektoranalys?

Vektoranalys är en gren av matematiken som handlar om vektorer och vektorvärda funktioner. Den innehåller begrepp som vektorfält, gradienter, divergens och curl, som möjliggör beräkning och analys av vektorvärderade funktioner i flerdimensionellt rum.

Vad används flervariabelanalys till? - 6 praktiska användningsområden

GPS-teknik

Koordinater används i stort sett överallt. Till exempel, när din GPS informerar dig om din position, är det i huvudsak att ta ett antal koordinater och översätta dem till vardagligt språk som t.ex. - du är 100 meter från McDonald's vid hörnet.

Maskininlärning

Maskininlärning blir ett allt viktigare område. Det används i stort sett överallt, av småskaliga företag, teoretiska fysiker och inom hälso- och sjukvården. Möjligheterna är oändliga! Hur fungerar maskininlärning egentligen? Maskininlärning är, precis som många andra coola tekniker, driven av matematik! Och i synnerhet behöver du förstå konceptet med gradientnedstigning . I grund och botten är det en metod som gör att maskinen får mindre och mindre fel. Så utan matematik hade maskininlärning varit omöjlig!

Väderprognoser

Hur illa kommer orkansäsongen att bli nästa år? Ingen vet säkert, men det hindrar oss inte från att gissa.

Vädret innehåller så utomordentligt komplicerade fenomen att förutsägelser baserade på nuvarande förhållanden kanske inte förutser katastrofala händelser förrän det är för sent att agera.

Istället kan teorier om extremvärden vara vår bästa chans att få en bra känsla för framtida beteende långt i förväg. Denna gren av statistik tittar på data som registrerats från tidigare händelser och uppskattar extremvärdena: de bästa och värsta scenarierna.

Metoden används för komplexa frågeställningar inom samhälls- och naturvetenskap liknande, till exempel för att indikera ekonomiska krascher, eller skador på grund av jordbävningar, innan de har inträffat.

Finans

Inom finansiell matematik är den moderna portföljteorin en matematisk metod för att välja finansiella tillgångar (aktier, obligationer, etc) på bästa sätt.

Vad det egentligen handlar om är att lösa ett optimeringsproblem där du vill plocka tillgångar till din portfölj så att:

Den förväntade avkastningen är maximerad
Risken minimeras

/calculus-several-variables/

Teorin uppfanns på femtiotalet av ekonomen Harry Markovitz. Teorin har sedan dess fått stor användning och Markovitz fick senare Nobelpriset i ekonomi för sitt arbete.

Inom fysik och ingenjörskonst

Flervariabelanalys är ett kraftfullt verktyg som kan användas för att modellera och förstå beteendet hos fysiska system. Detta kraftfulla matematiska ramverk kan appliceras på ett brett spektrum av fenomen, från flödet av vätskor till beteendet hos elektromagnetiska fält.

Ett exempel på detta är studiet av vätskedynamik. Ingenjörer och forskare använder flervariabelanalys för att förstå hur vätskor rör sig och hur de påverkas av yttre krafter. Genom att använda flervariabelanalys kan forskare och ingenjörer studera vätskeflödet i komplexa system som människokroppen, vilket är viktigt för att förstå blodflödet och andra fysiologiska processer. Dessutom är modellering av vattnets vätskedynamik också avgörande för att förstå havsströmmar och klimat.

Ett annat exempel på detta är inom områden som teknik, används trippelintegraler för utvärdering av de elektriska och magnetiska fälten, till exempel för utvärdering av elektromagnetisk energi i en region.

Robotteknik

Inom robotteknik används vektorvärda funktioner för att beskriva rörelsen hos robotar och andra mekaniska system. Till exempel kan positionen för en robots arm beskrivas med en vektorvärd funktion av tid, som ger koordinaterna för armens ändpunkt som en funktion av tiden. Genom att använda vektorvärda funktioner för att beskriva robotens rörelse kan ingenjörer och forskare analysera robotens rörelser och optimera dess prestanda.

Är flervariabelanalys svårt?

Flervariabelanalys kan anses vara mer utmanande än envariabelanalys , på grund av den extra komplexiteten att arbeta med flera variabler. Men begreppen och teknikerna för Flervariabelanalys bygger på de för envariabelanalys, vilket gör övergången till flervariabelanalys hanterbar för dem som har en gedigen förståelse för envariabelanalys.

Sammanfattningsvis är flervariabelanalys ett mer komplext fält än envariabelanalys på grund av den extra komplexiteten att arbeta med flera variabler. Övergången till flervariabelanalys är dock hanterbar med en gedigen förståelse för envariabelanalys, och begreppen och teknikerna för flervariabelanalys bygger på envariabelanalys.

Vad är skillnaden mellan envariabelanalys och flervariabelanalys?

Matematisk analys är ett kraftfullt verktyg för att förstå och analysera matematiska problem, och det finns i två varianter: envariabelanalys och flervariabelanalys. Även om båda formerna av analyser delar många likheter, finns det också några viktiga skillnader och utmaningar att vara medveten om när man går över från envariabelanalys till flervariabelanalys.

En av de största skillnaderna mellan de två är antalet inblandade variabler. Envariabelanalys handlar om funktioner av en enskild variabel, såsom x, y eller t, medan flervariabelanalys handlar om funktioner av två eller flera variabler, såsom x, y och z. Denna extra komplexitet av att arbeta med flera variabler kan göra flervariabelanalys mer utmanande än envariabelanalys.

En annan viktig skillnad är vilken typ av problem som kan lösas med varje form av analys. Envariabelanalys används för att analysera problem som involverar förändringshastigheter och optimering, till exempel att hitta max eller minimum för en funktion. Flervariabelanalys används för att analysera problem som involverar flera variabler och flera dimensioner, som att hitta volymen av ett fast ämne eller kraften på en yta.

Trots dessa extra utmaningar bygger begreppen och teknikerna för flervariabelanalys på de för envariabelanalys. Till exempel, derivatan av en funktion, som är ett grundläggande begrepp i envariabelanalys, används också i flervariabelanalys för att studera hur en funktion förändras när dess variabler ändras.

En matteapp som hjälper dig att lyckas

Vissa använder Elevri som kompletterande material för sina studier. Andra använder bara Elevri. Vårt uppdrag är att inspirera, coacha och göra matematik tydlig.