Varför heter det Gauss Jordans metod?
Redan i tidig ålder rådde det inga tvivel om att Carl Friedrich Gauss hade talang för matematik. Det finns flera välkända anekdoter från hans barndom som indikerar hans geni.
Vid endast tre års ålder korrigerade Gauss tydligen ett fel i en ekonomisk beräkning som hans far arbetade med, enbart genom huvudräkning.
I vad som förmodligen är den mest kända historien hade nu sju år gamla Gauss misskött sig i skolan. Hans lärare svarade med att ge honom den avsiktligt tidskrävande uppgiften att lägga ihop alla siffror från 1 till 100 som ett straff.
Läraren blev chockad när Gauss presenterade det korrekta svaret inom några sekunder. Det tog inte längre tid för honom att inse att summan kunde beräknas som:
Han löste detta genom att lägga till raderna parvis:
Gauss matematiska gåva gick tydligen inte vidare till hans barn, åtminstone inte i samma utsträckning. Som sexbarnsfar förbjuder Gauss dem att göra karriärer inom matematik eller naturvetenskap, av rädsla för att de kan "sänka familjenamnet".
Varför fungerar Gauss Jordan?
Föreställ dig att du får ett par linjer och du vill bestämma vid vilken punkt linjerna skär varandra.
Om en av linjerna var vertikal skulle du enkelt kunna läsa av x-koordinaten för den punkt där linjen korsar x-axeln. På liknande sätt skulle en horisontell linje ge dig punktens y-koordinat.
I det fall att ingen av punkterna löper vertikalt eller horisontellt, vad du kan göra då är att rotera linjerna runt skärningspunkten.
I huvudsak manipulerar Gauss-Jordan en mängd ekvationer på ett liknande sätt, vilket gör att vi enkelt kan läsa deras lösningar.
Hur används Gauss Jordan elimination?
En mängd linjära ekvationer bildar ett system som kan representeras av en totalmatris där varje rad motsvarar en av ekvationerna. Genom att använda de tre elementära radoperationerna:
Byter två rader
Multiplicera en rad med en skalär som inte är noll
Addera eller subtrahera den skalära multipeln av en rad till en annan rad
Vi kan sedan eliminera variabler från ekvationerna tills lösningen blir trivial. Detta tillstånd uppnås när systemet är i vad som kallas reducerad trappstegsform.
Gauss-Jordan-eliminering omvandlar en matris till detta tillstånd, vilket gör lösningen till systemet den beskriver tillgänglig med minimal ansträngning.
Vad är en totalmatris?
Innan genomgång av Gauss-Jordan är det praktiskt att först förstå övergången från ekvationssystemet till totalmatrisen. Kortfattat är totalmatrisen bara ett sätt att skriva samma sak som med ekvationssystemet. Vi börjar med ett exempel med två variabler:
En kort förklaring till ovan: I steg ett övergår vi till matrismultiplikationen för att i steg två skriva ekvationssystemet till totalmatrisen
där elementen till vänster om vertikala strecket motsvarar konstanterna till variablerna i vänsterledet och till höger återfinns högerledet i alla enkelhet. I fallet då högerledet är 0-vektorn så förenklar vi totalmatrisen till att endast innehålla vänsterledet, tex såhär:
Vad är reducerad trappstegsform?
Exempel på matriser på trappstegsform är:
Definitionen för att en matris är är på trappstegsform är:
alla rader som endast består av nollor är placerade längst ned
varje rad har ett ledande element, vars alla element direkt till vänster om är 0
var rads ledande element förekommer alltid till vänster om nedan rads ledande element
Exempel på matriser på reducerad trappstegsform är
Definitionen för att en matris är på reducerad trappstegsform är att:
är i trappstegsform
det ledande elementet i varje nollskild rad är en etta (dessa kallas för ledande ettor)
varje kolumn med ledande etta har värdet 0 i övriga element
De ettor i fet teckensnitt kallas för ledande ettor och har alla gemensamt att alla element till vänster om dem, om det finns några, är 0.
Hur gör man elementära radoperationer?
Hörnstenen till metoden Gauss-Jordan är elementära radoperationer. Kortfattat används det till att lösa ett linjärt ekvationssystem genom att använda sig av tre tillåtna operationerna och applicera dem på ekvationssystemet.
Byta plats på två rader
Multiplicera en rad med nollskild konstant
Summera en multipel av rad med en annan
Vi visar dessa tre operationer på följande system som vi först över till en totalmatris:
Byta plats på två rader
Första raden av ekvationer noteras , andra raden för och så vidare. Skrivs och på respektives platser betyder det att dessa två rader ska byta plats.
Multiplicera en rad med nollskild konstant
Noteringen betyder att vi multiplicerar första raden med två.
Summera en multipel av rad med en annan
Noteringen innebär radoperationen "första radens ekvation summerat med andra raden med en multipel av -2".
Varför radoperationer fungerar
Studenter tar ofast för givet att radoperationer är lagligt men har svårt att ge en övertygande förklaring. Kom ihåg att radoperationer påverkar systemet till något annat, men lösningsmängden består.
För ett praktiskt resonemang kan vi utgå från enklaste av ekvationer:
Likhetstecknet i en ekvation avser en balans mellan vänsterled och högerled. Det innebär att en operation med hjälp av de fyra räknesätten (addition, subtraktion, multiplikation och division) på ena ledet kräver motsvarande operation på andra ledet för att hedra balansen. Vi visar en multiplikation med 2:
Nu förlänger vi analogin. Eftersom både och har samma lösning, och är därmed balanserade led, är det likvärdigt att addera till vänsterledet som att addera till högerledet:
Tar vi exakt samma exempel över till ett linjärt ekvationssystem med en lösning om får vi:
Detta är inget matematiskt bevis för radoperationer, men ett fullt giltigt resonemang som motiverar förfarandet. Och kom ihåg - lösningsmängden består, men systemet blir ett annat.
Hur löser man ett linjärt ekvationssystem med Gauss Jordan?
Att lösa ett ekvationssystem är att bestämma lösningsmängden. Målet med Gauss-Jordans metod är att lösa ett linjärt ekvationssystem med hjälp av elementära radoperationer så att man får ett så pass förenklat system att man enkelt kan läsa av vad lösningen är. Låt oss ta följande system som exempel:
Det vi gör först är att övergå till totalmatrisen för systemet och därifrån få den reducerade totalmatrisen, som även kallas för reducerad trappstegsform.
Från sista totalmatrisen kan vi läsa ut att
Nu visar vi hur vi når högra totalmatrisen med hjälp av radoperationer, steg för steg.
Nu är vi färdiga och läser ut att det finns en unik lösning, nämligen punkten . Det viktiga att förstå är att med Gauss-Jordan bibehålls lösningsmängden trots radoperationerna, men ekvationerna i systemet påverkas och är inte samma. Se det uppenbara exemplet att första radens ekvation från första steget inte motsvarar det från det sista steget i Gauss-Jordan:
De tre lösningsfallen
Kom ihåg att för alla ekvationssystem gäller ett av de tre olika fallen: unik lösning, oändligt många lösningar eller inga lösningar.
Unik lösning
I förra exemplet såg vi en reducerad totalmatris för en unik lösning, en punkt:
Inga lösningar
För fallet inga lösningar, dvs systemet är inkonsekvent, så har någon motsägelse uppstått under Gauss-Jordan. Ser man det inte direkt så kommer det uppdagas till slut genom att för någon rad kommer hela vänsterledet vara 0 medan högerledet är nollskilt, till exempel:
Det innebär att sista raden av ekvationer är:
vilket uppenbart är falskt och därmed saknar hela systemet lösningar.
Oändligt många lösningar
Sista fallet, oändligt många lösningar, innebär alltid att vi antingen har startat med färre ekvationer än vi har variabler, eller att det har uppstått en fullständig nollrad:
I fallet ovan betyder det att vi har två ekvationer kvar medan den tredje har reducerats bort i radrecuderingen. Vad vi nu gör är att införa en parameter för rad 3
och fortsätter med radoperationerna:
Lösningen följer därför parameterformen
vilket vi känner igenom som linjens parameterform, då den har både en punkt och en riktning .
Skulle vi få två nollrader:
Inför vi två parametrar och fortsätter att radreducera:
varav lösningen följer parameterformen:
Vi känner igen lösningsmängden att vara ett plan då den har två parametrar och därmed två riktningsvektorer. Kom ihåg minnesregeln: två riktningar = två dimensioner = ett plan.
