Hur används vektoroperationer (kryssprodukt) i praktiken?
Ända sedan James Clerk Maxwell upptäckte sambandet mellan elektricitet och magnetism, och förenade dem under teorin om elektromagnetism, har vektoroperationer varit avgörande för att förklara och använda de relaterade fenomenen.
Kryssprodukten är en sådan operation med tillämpningar för bland annat kraftgenerering.
När en ledande tråd rör sig vinkelrätt mot ett magnetfält, induceras en elektrisk ström inuti tråden. Detta är nyckelbegreppet vi använder oss av i generatorer som driver vårt elsamhälle, till exempel i vindkraftverk.
Samma teknik används i elmotorer, men i motsatt riktning, där elektrisk ström används för att producera mekanisk rörelse.
Kryssprodukten av vektorerna som beskriver magnetfältet och antingen den elektriska strömmen eller den fysiska rörelsen ger oss storleken och riktningen på den kvantitet vi är ute efter.
Vad är definitionen av en kryssprodukt?
Till skillnad från skalärprodukten, som är en annan multiplikationsmetod som definieras för vektorer av vilken storlek som helst, fungerar kryssprodukten bara för vektorer i tre dimensioner.
Intuitivt är detta vettigt eftersom kryssprodukten mellan två vektorer alltid är vinkelrät mot dem båda. Endast i tre dimensioner finns det en unik vinkelrät riktning.
Kryssprodukten är ett sätt att multiplicera två vektorer, och resultatet är en tredje vektor vinkelrät mot båda
Det enda vi kanske inte vet om riktningen för kryssprodukten i förväg är om den är positiv eller negativ. Detta bestäms av storleken och dess tecken, som vi finner genom att utföra beräkningen.
Geometriskt kan vi tolka storleken på kryssprodukten av två vektorer som arean av ett parallellogram med vektorerna som sina sidor.
Hur utförs kryssprodukten?
Vi kan använda följande formel för att utföra kryssprodukten element-för-element:
Alternativt kan kryssprodukten härledas med hjälp av storleken på vektorerna och och vinkeln mellan dem:
där anger en enhetsvektor i riktningen vinkelrät mot och .
Kryssprodukt
Multiplikation mellan två vektorer är inte definierad, men det finns två definitioner där ändå multiplikation används mellan elementen: skalärprodukt och kryssprodukt (eller vektorprodukt). Skaläprodukten är en enkel produktsumma och kryssprodukten härstammar från definitionen av determinanten, vilket känns igen. Medan skalärprodukten av två vektorer resulterar i en skalär så är kryssprodukten mellan två vektorer en ny vektor som dessutom är ortogonal till de båda vektorerna. En till skillnad är att kryssprodukten endast är definierad för tre dimensioner (), medan skalärprodukten är definierad för alla dimensioner av rum.
Vi summerar:
Låt och vara vektorer i . Då noteras kryssprodukten av och som och är definerad som
eller motsvarande
Utvecklingen för kryssprodukten kan härledas från definitionen av determinanten. Låt därför kryssprodukten uttryckas som linjärkombinationen av enhetsvektorerna , och :
där , och är kofaktorer till determinanten enligt följande
Följande egenskaper gäller för kryssprodukten
Låt , och vara vektorer i och vara en skalär. Då har vi att
Area
Formeln för arean av ett parallellogram är basen multiplicerat med höjden. Faktum är att kryssprodukten av och relateras till ytan som de båda vektorerna spänner upp, nämligen att dess längd är lika med ytan. Vi har satsen
Låt och vara nollskilda vektorer i och låt vara vinkeln mellan dessa två samt vara arean som de två spänner upp. Då gäller att
Först behöver vi bevisa att
Högerledet följer formeln "basen multiplicerat med höjden" där ger höjden till basen via grundläggande trigometri. Från trigonometriska ettan har vi att
Okej, här kommer det:
Trippelprodukt
Som förlängning av hur kryssprodukten relateras till ytan vars de två vektorerna spänner upp så definierar vi trippelprodukt enligt följande: Låt , och vara tre nollskilda vektorer i . Då definieras trippelprodukten som
För den geometriska tolkningen gäller att motsvarar volymen till den parallellpiped som spänns upp av de tre vektorerna.
Vi har den generella formen för volymen som basen multiplicerat med höjden , där basen är ytan som spänns upp av vektorerna och .
Därmed är den geometriska tolkningen härledd.
Normalvektor
En normalvektor är en vektor vars riktning är ortgonal (bildar rät vinkel) mot ett annat objekt. Detta objekt kan vara en annan vektor, ett plan, ett hyperplan eller även ett geometrisk objekt som en ickelinjär yta. Det sistnämnda behandlas inte i en kurs av linjär algebra men är ett självklart inslag av en flervariabelanalys.
Enklaste sättet att skapa en normalvektor till ett plan är att ta två vektorer tillhörande planet, och , och beräkna kryssprodukten:
