Intro
Vektorer är involverade i en stor del av arbetet i högteknologiska företag som Google, Facebook och Spotify, och utgör basen för de fascinerande tekniska lösningar vi interagerar med till vardags.
Från Apples algoritmer för ansiktsigenkänning till Teslas autopilotfunktion, vektorer finns överallt!
2006 tillkännagav Netflix "The Netflix Prize", en tävling för personer utanför företaget för att förbättra noggrannheten i deras rekommendationsmotor.
Med officiella data från Netflix, bestående av hur deras användare tidigare hade betygsatt filmer, skulle någon kunna komma på en algoritm för att förutsäga vilka andra filmer en användare skulle gilla? Svaret var ja, och det involverade vektorer.
Genom att tillämpa maskininlärningstekniker på vektorer som består av följande element:
En specifik användare
En specifik film
Betyget som ges
Datum för betygsättning
Ett team av forskare som kallar sig "BellKor's Pragmatic Chaos" tillkännagavs som vinnare av tävlingen, vilket avsevärt förbättrat Netflix förmåga att lista ut din nästa favoritfilm.
Koncept
Till skillnad från skalärer som bara består av ett enda tal, är en vektor sammansatt av en mängd tal. Precis som i exemplet med Netflix användardata.
En vektor är sammansatt av en mängd tal
Föreställ dig att du är en mäklare och du listar ett hus till salu. Vissa egenskaper hos huset, såsom den totala boarean, kan representeras av ett enda tal. Det behövs dock flera parametrar för att beskriva hela huset.
Genom att representera huset som en vektor med boarea, byggår, antal rum, utgångspris och så vidare kan köpare få en överblick över objektet och jämföra det med andra hus.
Summering
Det finns fem elementära vektoroperationer: addition, subtraktion, skalärmultiplikation, skalärprodukt och kryssprodukt.
För att utföra vektoraddition, adderas komponenterna i varje vektor helt enkelt tillsammans separat. Betrakta som exempel vektorerna:
Genom att använda vektoraddition:
Subtraktion av vektorer fungerar på samma sätt. Vektorer kan också multipliceras med skalärer, vilket multiplicerar varje komponent med den skalären.
De två sista elementära vektoroperationerna kallas skalärprodukt och kryssprodukt. Vi kommer inte att diskutera dem i detalj här, men de förklarar de två olika sätten på vilka vektorer kan multipliceras med varandra.
Punkt
En ensam punkt noteras ofta som , och och har koordinater. Antalet koordinater motsvarar alltid antalet dimensioner i rummet, som i , eller i . En sammanhängande samling av oändligt många punkter kan bilda en geometrisk form, såsom en linje eller ett plan.
Egenskaper för punkten
En punkt i rummet...
saknar längd och bredd,
och har fast position i rummet,
och har samma antal koordinater som rummets dimension,
och noteras vanligen , , och om den är känd,
och noteras vanligen som , , och om den är okänd.
Vektor
En vektor inom fysiken ritas som en pil och representerar en krafts startpunkt, riktning och magnitud. I matematikens värld abstraheras det praktiska perspektivet, där den största skillnaden är att vektorer brukar anses fria, vilket innebär att de inte är knutna till en fast position. Varje vektor skapas utifrån två punkter (därmed får man riktning och längd). Om en av vektorerna är origo, det vill säga punkten , kallas vektorn för ortsvektor. Är bägge punkterna origo så kallas vektorn för nollvektorn och noteras .
Egenskaper för vektorer
En vektor i rummet...
har en given längd och riktning,
och saknar fast position (kan alltså förflyttas i rummet),
och har samma antal koordinater som rummets dimension,
och noteras vanligen , , och om den är känd
och noteras vanligen , , och om den är okänd.
En vektor kan dock noteras i tryckt material som . Därför är det behändigt att i handskriven text använda sig av notationen med en pil. Däremot är det snarare en regel än ett undantag att i handskriven text notera vektorn .
I linjär algebra saknar vektorer position och kan flyttas runt
Räkneregler
Följande lagar, eller räkneregler, gäller för vektorer och känns ofta som naturligt även för nybörjaren:
Summering
(kommutativa lagen)
(associativ lagen)
(identitet)
Skalärmultiplikation
(kommutativa lagen)
(distributiva lagen)
(identitet)
Skapande av vektor
En vektor har en längd och riktning och härleds från en känd startpunkt och slutpunkt , därför kan den skapas med hjälp av två punkter i rummet genom formeln
Låt oss ta exemplet med punkterna
Låt vara startpunkt och vara slutpunkt, då gäller att:
och som motexempel låter vi istället vara slutpunkt och vara startpunkt:
Notera att vända på start- och slutpunkt resulterar i att vektorn behåller längden men har motsatt riktning. Vi har att:
Skalning av vektor
En skalning av en vektor innebär att man multiplicerar den med en skalär . Då ändras längden av . Om så förlängs . Om så förkortas och om så får motsatt riktning.
Vektoraddition
Summan av två vektorer och utgör en ny vektor som vi kan kalla , och notationen följer
Geometriskt kan vektorn tolkas som diagonalen av det parallellogram som spänns upp av och
Algebraiskt summeras respektive koordinater med varandra, likt hur vi skapar en vektor från två punkter. Låt till exempel
Då gäller att
Vektorsubtraktion
Att subtrahera två vektorer och liknas enklast som summan av en positiv och en negativ vektor på följande sätt:
Geometriskt kan vektorn tolkas likat som vid vektoraddition
Algebraiskt fungerar det analogt som vid addition. Låt till exempel
Då gäller att
Längden av en vektor
Definitionen av längden, eller normen, av en vektor kan kompliceras inom matematiken, men grundkurs i Linjär algebra hanterar i princip alltid endast den mest praktiska som baseras på Pythagoras sats - den Euklidiska normen. Låt vektorn i ha koordinaterna
vars Euklidiska längd då definieras som
som kan kännas igen från Pythagoras sats.
Formen följer på samma sätt högre dimensioner, så låt rummet vara och längden på följer då vara
Vektorns längd kan även sättas i relation till avstånd mellan två punkter eftersom att en vektor egentligen inte är mer än en relativ spatial differens, eller som vi kan uttrycka det för vanliga människor: en pil mellan två punkter!
Euklidiska normen är längden av en vektor och baseras på Pythagoras sats
Mer om avstånd i ett senare avsnitt, men vi unnar oss en härledning till hur längden av vektorn förhåller sig till avståndet mellan dess start- och slutpunkt respektive . Låt
där
då har vi det som krävs för att härleda avståndsformeln mellan och
Enhetsvektor
En vektor med längden (normen) 1 kallas för enhetsvektor. Varje vektor i kan göras till en enhetsvektor genom att multiplicera med skalären , det vill säga dividera den med sin egen längd. Detta kallas för att normera vektorn . Låt vara den normerade vektorn av , då gäller att
Man stöter ofta på ovan uttrycket ovan som
vilket anses vara ett ok och komprimerat uttryck av en normerad vektor .
Generellt så är en enhetsvektor med en koordinat som 1 och resten som 0 döpt till standardenhetsvektor och noteras som . Sammansättningen av följande stycken vektorer i kallas för rummets standardenhetsvektorer:
Den skarpsynte kan se att varje vektor kan skrivas som en kombination av standardenhetsvektorerna.
Skalärprodukt
Multiplikation av två vektorer, och , är inte definerad, men det finns två operationer man behöver förstå: skalärprodukt och kryssprodukt. Skalärprodukten resulterar i en skalär (ett tal) och noteras vanligen antingen eller , medan kryssprodukten resulterar i en helt ny vektor . Låt och vara två vektorer i
och då definieras skalärprodukten algebraiskt som
medan skalärprodukten har följande geometriska definition
där avser längden av vektorn och avser vinkeln mellan och .
Skalärprodukten är även definierad för med samma geometriska förhållande som ovan för . Uträkningen fungerar analogt:
Ortogonalitet
Ortgonalitet innebär att vinkeln mellan två vektorer, linjer eller plan är vinkelrät ().
Notera att skalärprodukten mellan två ortogonala vektorer alltid är 0 eftersom att vinkeln då är :
varpå att varje vinkel mellan två vektorer kan lösas ut genom
Vi är redo för följande definition
Om skalärprodukten mellan två vinklar och är 0 betyder det att vinkeln dem emellan är och vektorerna sägs vara ortogonala mot varandra. Gäller att för varje par av vektorer utifrån en uppsättning av vektorer
att
sägs vektorerna utgöra en ortogonal uppsättning. Skulle dessutom samtliga vektorers längd vara 1 sägs det vara en ortonormal uppsättning.
Vidare kan vi säga att om är en icketom mängd av vektorer och är ortogonal mot var och en av dessa vektorer i , sägs vara ortogonal mot .
Standardvinklar
Det är en vanlig utmaning för nybörjare att lämna begreppet grader som enhet för vinklar och helt omfamna radianer istället. Det är viktigt att studenten klarar denna övergång eftersom att det förväntas att studenten kan vinkelvärden för sinus, cosinus och tangens enligt vinkeltabellen ovan. Denna föreläsningsanteckning avser att stötta denna övergång i livet, och vi gör det i tre steg:
kom ihåg enhetscirkeln
kom ihåg de fem standardvinklarna
kom ihåg vinkeltabellen
Låt oss börja!
1: Enhetscirkeln
Enligt bilden motsvarar -koordinaten värdet för och -koordinaten motsvarar värdet för . Lägg på minnet att
och att
Även viktigt att komma ihåg är även de trigonometriska lagarna:
2: Fem standardvinklar
Samtliga vinkelvärden för sinus, cosinus och tangens som studenten förväntas kunna utantill är någon form av multipel av de fem standardvinklarna , , , och .
3: Vinkeltabellen
Börja varje tentamen med att skriva upp vinkeltabellen som den ser ut ovan. Den kan vara avskräckande men om man lär sig metoden bakom behöver man inte lära sig innehållet utantill. Första steget är att rita tabellens struktur med standardvinklarna ifyllda från steg 2:
Från steg 1 minns vi - och -värdena för vinkelarna och . Men istället för att fylla i 0 och 1 i tabellen skriver vi respektive .
Det värsta är över för nu fyller vi enkelt i vinkelvärdena för sinus , och från vänster till höger.
Detta är ett vackert mönster! Och cosinus följer samma mönster, bara omvänt. Vi fyller i!
Bara tangens kvar vilket är sinus delat med cosinus. Genom att läsa av tabellens värden fyller vi enkelt i sista raden.
För att besvara vinkelvärdena för eller så används vinkeltabellen ihop med enhetscirkeln och de trigonometriska lagarna.
Ortogonal projektion
Ortogonal, eller vinkelrät, projektion mellan två vektorer och är en operation (och linjär avbildning, men mer om det senare) som resulterar i en ny vektor. Om projiceras på noterar vi den nya vektorn , som har samma riktning som .
Enligt bilden ser vi hur projiceras mot under rät vinkel och är parallell mot . Med projektionssatsen bestämmer vi
Nämnaren i projektionssatsen behövs för att normera , dvs skala den så att den får längd 1, annars får inte vektorn rätt längd och därmed blir inte projektionen ortogonal. Skulle redan vara normerad så reduceras formeln till
och för att helt härleda fram till den generalla formeln, låt oss sätta in den normerade vektorn
och få
vilket avslutar härledningen.
