Intro
Gener är de grundläggande enheterna i levande organismer som förklarar funktionaliteten hos alla arter, vilket är anledningen till att de är av sådan betydelse för forskare som försöker förklara vissa biologiska egenskaper.
Människor har över tjugo tusen olika celler, som var och en bidrar till våra imponerande förmågor. När avvikelser uppstår, såsom kroniska sjukdomar, finns förklaringen och det potentiella botemedlet ofta i individuella geners divergerande beteende och deras interaktioner.
En mänsklig patient kan representeras av en vektor, där varje komponent motsvarar en separat gen. Med en metod som kallas principalkomponentanalys kan vi skriva om dessa vektorer så att varje komponent representerar en kombination av gener som tenderar att arbeta tillsammans.
Denna procedur är ett exempel på en basbyte och kan hjälpa forskare att avgöra vilka gener som är kopplade till en viss sjukdom.
Koncept
Låt oss fundera på vad det betyder för en vektor att ha komponenterna och . Vi kommer genast att avbilda det kartesiska koordinatsystemet med en horisontell x-axel och en vertikal y-axel, och rita vektorn från origo till punkten .
Det här sättet att tolka en vektor är intuitivt och bekvämt, men det är inte vårt enda alternativ. Vi kan faktiskt definiera varje komponent som ett valfritt antal steg i en viss riktning, genom att konstruera en annan bas.
En bas är nämligen en lista med vektorer som definierar riktningen och stegstorleken för komponenterna i vektorerna i den basen. Antalet bas är därmed lika med antalet komponenter för vektorer i en sådan bas, vilket definierar deras dimension.
Summering
Enhetsvektorer längs koortdinataxeln och utgör standardbasen för .
Därför representerar den allmänna formen av en vektor i två dimensioner en linjärkombination av dessa specifika vektorer:
Efter samma format kan vi skriva samma vektor i en annan bas , med basen och :
Från dessa ekvationer kan vi härleda den nödvändiga relationen för basbytet genom att likställa de två uttrycken för :
Baser och koordinater
Standardbasen
Låt oss ta ett ordentligt kliv tillbaka och gå igenom koordinater för en vektor i som om det vore för första gången, likt när vi i grundskolan lärde oss läsa ett diagram i ett koordinatsystem. Vi har tidigare nämnt standardenhetsvektorerna och :
Det är tydligt att vi kan beskriva som en linjärkombination av och enligt följande
där koordinaterna, och , utgör skalärerna i linjärkombinationen. Vilken godtycklig vektor som helst kan uttryckas i som en linjärkombination av och , och därför säger vi att och utgör en bas för . Detta för att de är linjärt oberoende och tillsammans spänner upp hela rummet. Detta kan algebraiskt skrivas som
Detta kan utvidgas analogt för alla vektorer och underrum enligt följande definition:
En uppsättning linjärt oberoende vektorer i ett underrum i sägs utgöra en bas om för om de spänner upp , det vill säga om
Det är tydligt att , utgör en bas för , och kallas för standardbasen. Dessa vektorer är dessutom parvis ortogonala med längd 1 och sägs därför utgöra en ortonormal bas, eller ON-bas. Skulle de endast vara ortogonala hade de uppfyllt villkoret för en ortogonal bas.
Egenskaper till varje nollskilt underrummet i är:
Det existerar en bas till som har som flest stycken vektorer.
Varje bas till har samma antal basvektorer.
Koordinater avseende på annan bas
Anledningen till den rigorösa genomgången av standardbasen och definitionen av bas är för att introducera nybörjaren till arbetet med andra baser. Kom ihåg vad som gällde för koordinaterna till en godtycklig vektor ! koordinaterna är skalärerna i linjärkombinationen för uttryckt i basvektorerna. Låt
vara basen till ett underrum för . Då har vi att varje godtycklig vektor uttryckt i får koordinaterna
så att
Ovan leder till ett linjärt ekvationssystem där antalet ekvationer är (eftersom att basvektorerna tillhör ) och antalet okända är (=antal koordinater). Lösningsmängden kommer att vara en unik lösning givet att (även om ). Notera att vi alltid har samma antal koordinater som antalet basvektorer som spänner upp underrumet.
Exempel 1
Låt
vara uttryckt i standardbasen . Låt även
vara en bas för . Vi söker nu uttryckt i basen . Det är starkt rekommenderat att nybörjaren alltid startar sin lösning för varje liknande problem på följande sätt:
Vi söker
så att
Starten med dessa två rader är ett beprövat koncept med tusentals studenter som gör att avsnittet om koordinater med avseende på annan bas blir begripligt med mycket goda resultat. Från andra raden kan vi härleda fram till ett linjärt ekvationssystem med en unik lösning:
Från andra raden kan vi gå över till matrisform och totalmatris och lösa systemet:
Från den radrecuderade totalmatrisen kan vi nu läsa ut lösningen och svaret för uttrycket i basen är:
Från bilden nedan kan vi se hur de två vektorerna och spänner upp parallellogrammet vars diagonal utgör som summan av de två, helt enligt vår start på lösningen ovan och enligt den allmänna definitionen av koordinater.
Exempel 2
Låt
vara en vektor i underrumet med parameterform
Vi ser att spänner upp ett plan eftersom att den har två vektorer och två parametrar samt att . Därför utgör
en bas för planet/underrummet . Vi söker nu efter koordinaterna för uttryckt i basen . Igen, vi börjar på följande sätt för att lösa problemet:
Låt
så att
Vi ställer upp totalmatrisen och löser systemet
och vi får att
Vi dubbelkollar resultatet
Lägg märke till att vi har samma antal koordinater som basvektorer. Det betyder att vektorn uttrycks med två koordinater, detta trots att existerar i . Oftare än inte, tyvärr, brukar det här förvirra nybörjaren. Därför ritar vi följande bild för att landa i att det hela känns bra.
På planet har vi vektorerna , och . Vi har även inkluderat en vektor som inte ligger på planet. Alla fyra vektorerna finns i och har därför tre koordinater. Däremot uttrycks samtliga vektorer på planet med två koordinater när de uttrycks i en bas för planet. Eftersom att planet spänns upp av två vektorer så är planets dimension två. Därför är antalet basvektorer två och följdaktligen antalet koordinater två.
Enligt bilden har vi även individen Herr 2D som lever på planet . Han kan uppfatta samtliga vektorer på planet, inklusive , och . Dessa ser han från sitt, någorlunda begränsade, perspektiv. I hans värld finns endast koncepten bredd och höjd, det vill säga två dimensioner. Han ser därför koordinaterna till som två och inte tre. Vektorn , som kräver perspektivet djup, kan herr 2D tyvärr inte uppfatta. För att förstärka exemplet med underrum och lokala koordinater introducerar vi linjen som skär planet i punkt . Herr 2D kan inte uppfatta linjen i sin helhet, men har all förmåga att uppfatta skärningspunkten , som även den uttrycks med två koordinater i det underrum som herr 2D lever i.
Detta exempel är en klassiker inom modern fysik för att förklara konceptet högre dimensioner. Hur approcherar vi koncepten rum, tid och ytterligare dimensionsrum? Jo, i de sammanhangen är det nämligen vi som är herr 2D, och möjligheterna, är oändliga.
Dimension
Dimension och baser hänger ihop väldigt tätt och kan knytas till våra kunskaper om parameterformen för linjen och planet. Kom ihåg att
linjens parameterform har en parameter, har en riktningsvektor och breder ut sig över en dimension.
planets parameterform har två parametrar, har två riktningsvektorer och breder ut sig över två dimensioner.
Om linjen och planet skär origo utgör de underrum i och byter vi ut ordet riktningsvektorer mot basvektorer har vi faktiskt slutit cirkeln på liknelsen av dessa geometriska objekt med vad vi precis lärt oss om baser och underrum. Tydligt ser vi sammanhanget med antalet basvektorer till ett underrum och dess dimension, vilket leder oss till följande egenskaper för varje icketomt underrum till :
Dimensionen till underrummet är samma som antalet basvektorer.
En mängd av fler vektorer än dimensionen till är linjärt beroende, och utgör därmed inte en bas till .
Om en mängd vektorer spänner upp , men inte är en bas för , så kan en bas skapas genom att ta bort lämpliga vektorer från .
Om en mängd vektorer är linjärt oberoende men inte spänner upp , så kan en bas skapas genom att lägga till lämpliga vektorer från till .
