Allmänna vektorrum

Detta är början på slutet, åtminstone för en konventionell linjär algebrakurs. Vi har studerat vektorer, matriser och rum. Många tycker att dessa begrepp är ganska abstrakta, men allt är relativt. Matematiker tycker ofta om att skilja mellan kategorierna matematik och räkning, där linjär algebra hör till den senare. Detta kan låta provocerande, särskilt efter hårt arbete med att lära sig innehållet, men avsikten är rent akademisk. Vi avser att denna föreläsningsanteckning ska vara till hjälp för studenten att uppskatta skillnaderna, och förhoppningsvis inspirera dem att lära sig mer om världen av abstrakt algebra.

Matematik är en logisk strävan, ungefär som studierna av filosofi och juridik. Det kräver analytiskt och abstrakt tänkande, eftersom målet är att bevisa insikter, och att se om hittade samband kan generaliseras. Ibland är en upptäckt bara en praktisk spets på isberget, där sanningen under ytan kan bevisas vara mycket större.

Vi generaliserar konceptet vektorrum genom att specificera kraven som gör att en generell mängd objekt med två operationer kan ses som ett vektorrum. Vi har nu en praktisk association med addition, skalärer, multiplikation och vektorer.

Generaliseringsprocessen innebär inte att vi adderar kunskap till sammanhanget, det betyder tvärtom att vi subtraherar inlärd kunskap. Vi börjar med denna korta sammanfattning av kärnegenskaperna hos delrum:

Nu tar vi nästa steg genom att definiera vad vi menar med addition och skalär multiplikation (kom ihåg - vi generaliserar begrepp). Försök att läsa följande avsnitt för första gången.

Låt vara en icke-tom mängd objekt, av vilka vi introducerar två operationer:

Notera att vi återanvänder terminologin addition och multiplikation, men vi är öppna för hur operationerna är definierade. Vi kallar för ett vektorrum och vi kallar objekten , och för vektorer om de uppfyller följande tio axiom som kallas axiomen för vektorrum:

Att tänka abstrakt är processen att släppa avgränsande villkor och försöka tänka minimalistiskt och nytt. Om ovanstående uttalanden inte inbjöd till en utmaning, kanske följande uttalande kan göra just det:

Betrakta den första egenskapen från ovanstående sats:

Den första funktionen i meningen ovan är så intuitiv att det gör det svårt att föreslå något annat, eller hur? Visst borde en skalär resultera i nollvektorn , när den multipliceras med någon vektor ? Jo, naturligtvis får du det resultatet med den konventionella definitionen av skalär multiplikation, vilket innebär att vi multiplicerar skalären med varje komponent i vektorn . Men tänk om vi lämnar den exakta definitionen av operationen och närmar oss detta med ett abstrakt tänkesätt. Låt oss säga att vi inte vet hur operationen av skalär multiplikation fungerar. Vad vi vet är de ursprungliga tio vektorns rymdaxiom. Här är ett sexstegsbevis som endast stöds av de tio vektorrymdsaxiomen:

Till höger om varje steg har vi , vilket hänvisar till vilket av de tio axiomen som har använts för att stödja resultatet. Steget hänvisar till egenskapen för reella tal. Se hur abstrakt varje steg i beviset är, och hur vi inte delar upp vektorerna i komponenter. Därför gäller beviset för alla objekt som kan kallas vektorer för alla uppsättningar som kallas vektorrum. Vi sammanfattar här de tre bevisen för de tre påståendena i ovanstående sats:

där sista raden i det sista beviset hänvisar till resultatet av det första beviset. Detta är ett vackert koncept, både använt i matematik och filosofi, att vi återanvänder våra resultat från tidigare resonemang för att bevisa nya. Vi går nu vidare med tre exempel på vektorrum, nämligen funktionsrum, polynomrum och matrisrum.

Ett vanligt vektorrum i högre studier i matematik är funktionsrum, och särskilt reella sådana. Låt oss gå från vår konventionella syn på en vektor så att:

och betrakta varje komponent i för att representera ett funktionsvärde. Låt oss säga att vi har:

vilket ger oss:

I exemplet ovan hänvisar vi till vektorn som en 3-tupel, vilket betyder en ändlig sekvens om tre. I allmänhet talar vi om n-tupler. Om vi skulle plotta vektorn skulle vi ha tre punkter:

i en tvådimensionell graf med axlarna som horisontell axel och som vertikal axel. Men vi är vana från analys i en variabel till att rita grafer över hela reella talplanet, vilket betyder att vi kan ta det till nästa nivå och överväga:

Vi kan utöka vår uppfattning om en funktionsvärderad vektor till att täcka varje enskilt reellt tal, vilket ger oss vektorn med oändligt många komponenter, en för varje reellt tal:

Så vi har att och att :te komponenten för den vektorn är . Ganska cool va? Vi betecknar här uppsättningen av verkliga funktioner som är definierade för alla reella tal av med , och låt oss komma överens om att två funktioner som hör till denna mängd, och , anses vara lika om, och endast om,

där tecknet betyder "för alla". Så hur ska vi definiera operationerna addition och skalär multiplikation? detta hålls vanligtvis enkelt och definieras konventionellt som:

Ett sådant funktionsutrymme , med ovanstående operationer för addition och skalär multiplikation, definieras som ett vektorrum eftersom det uppfyller alla axiomen för vektorrum.

Om vi tar det från funktionsrum kan vi låta vara ett icke-negativt heltal och låta vara mängden av alla reella funktioner på formen:

där är reella tal. Detta betyder att är mängden av alla polynomrum av grad eller lägre. Vi har att , med samma definition för addition och skalär multiplikation som för , är ett vektorrum. Vidare, det är ett delrum till . För att visa det behöver vi visa att är slutet under addition och skalär multiplikation. Säg att och tillhör :

Således har vi för operationen för skalär multiplikation:

När det gäller operationen för addition har vi följande:

vilket visar att och båda är polynom av grad eller mindre, och tillhör därför polynomrummet .

Polynomrummet är intressant eftersom vi kan definiera en vacker bas för detta vektorrum. Vi kommer ihåg att definitionen av en bas för ett vektorrum är att basen ska vara linjärt oberoende och spänna upp rummet. Det betyder att vi bör ha en unik linjärkombination för vart och ett av polynomen till . Det finns flera baser som tjänar detta syfte, här kommer den triviala:

Ser du hur en linjärkombination av denna bas skulle se ut? För varje har vi en unik uppsättning koordinater så att:

Visst är det vackert?

En annan fascinerande variant av vektorrum är matrisrum. Visst, det kan låta kontraintuitivt att betrakta matriser som vektorer. Men kom ihåg - en generalisering är inte att lägga till information, det är att subtrahera begränsningarna för det som redan är känt. Så låt oss säga att är matrisutrymmet med alla -matriserna med reella tal. Det betyder att vektorer tillhör detta matrisrum, som vi känner igen, enligt vår gamla definition, som en vektor. Vi låter addition och skalär multiplikation för matriser vara detsamma som vi är vana vid att se dem. Sedan har vi att detta rum är slutet under addition och skalär multiplikation, eftersom dimensionerna på vektorerna inte ändras. Låt oss ta ett mer konkret exempel och undersöka följande matrisrum av matriser. Hur skulle en passande bas se ut? Återigen, det finns ett oändligt antal baser att välja mellan, men vi håller det enkelt. Vi har att:

utgör en bas för , eftersom vi för varje i detta vektorutrymme har att:

Därför utgör en bas för .

Nu är det dags för en intellektuell utmaning. Vi har gett flera exempel på vektorrum, men de har alla haft de konventionella definitionerna av addition och skalär multiplikation. Vi kommer nu att introducera två nya operationer, samtidigt som vi betraktar reella tal som vektorer.

Låt oss betrakta som mängden av alla positiva reella tal, som vi kallar vektorer och betecknar följande notation , och . För alla reella tal och alla vektorer och i definierar vi operationerna och som vår addition och skalär multiplikation enligt följande:

Både och är positiva tal, så de tillhör utrymmet och resultaten betraktas därför som vektorer till det utrymmet. Detta är en bra övning i generalisering, där vi subtraherar det vi vet och överväger något annat. Men är detta vettigt? är de tio axiomen för vektorrum uppfyllda för denna mängd med ovanstående operationer och ? Om så är fallet, är ett vektorrum. Vi bekräftar axiomen nedan. Det gör en ganska solid lista, men det finns inga genvägar för att bekräfta varje axiom. Ta dig tid och läs noga.

En notering för axiom 7 - den konventionella definitionen för addition gäller för skalärer mellan varandra, eftersom de inte betraktas som vektorer av . En skalär multiplicerad med vektorn måste dock följa de nya definitionerna.