Ortogonal diagonalisering - ett praktiskt exempel
Här är ett roligt litet fysikexperiment!
Ta fram din telefon (eller bok) och vänd den så här!
Lägg märke till hur denna rotation ser ut jämfört med om du vänder den längs axeln nedan:
Lägg märke till nu hur flippen är lite instabil, precis som i animationen. För att förstå detta måste vi lära oss om ortogonal diagonalisering .
Tröghetsmatrisen (eller tröghetstensorn) är en symmetrisk matris som beskriver rotationsmotståndet kring en axel. Man kan alltid diagonalisera en symmetrisk matris och det visar sig att egenvektorerna är ömsesidigt ortogonala och att motsvarande egenvärden är reella!
Vi säger att tröghetsmatrisen är ortogonalt diagonaliserbar .
Egenvektorerna för tröghetsmatrisen kallas huvudaxlar och det var längs dessa axlar som du vände telefonen.
Din telefons vändning var instabil runt axeln med det mellanliggande egenvärde. Detta är Dhzanibekov-effekten.
Hur diagonaliserar man en matris - och vad menas med ortogonal?
Att diagonalisera en matris är att hitta tre matriser , och så att
Om råkar vara ortogonal, vilket betyder att alla dess kolonnvektorer bildar 90-graders vinklar mot varandra, sägs diagonaliseringen av vara en ortogonal diagonalisering .
Detta kommer bara att vara möjligt om är symmetrisk , vilket innebär att om vi föreställer oss att vika längs dess huvuddiagonal, matchas alla element med ett annat element som också har samma värde.
Vad är formeln för ortogonal diagonalisering?
Symmetriska matriser definieras som kvadratiska matriser som är lika med deras transponeringsmatris:
Låt nu vara ortogonalt diagonaliserbar och betrakta .
När den är fördelad, omvänder transponeringen ordningen på multiplikationen, så att:
Nu är symmetrisk så att , och det faktum att är ortogonal ger oss att:
Följaktligen:
Förutom att visa att måste vara symmetrisk, säger detta oss att den ortogonala diagonalisering av också kan formuleras som:
Mer om ortogonal diagonalisering
Ortogonal diagonalisering av en matris är ett specialfall av diagonalisering. Vi ställer då ett ytterligare krav på att matrisen är ortogonal så att vi har
Det sista ledet följer att för varje ortogonal matris gäller att dess invers är lika med transponaten. Det gäller även att en matris är ortogonalt diagonaliserbar om, och endast om, det är en symmetrisk matris.
En matris är ortogonalt diagonaliserbara om, och endast om, den är symmetrisk
För att ska kunna vara en ortogonalmatris innebär det att vi måste kunna skapa en ortonormal bas av egenvektorer för matrisen . Detta görs med hjälp av Gram-Schmidt för varje bas för varje egenrum, men det är essentiellt att egenrummen måste vara ortogonala mängder. Låt oss ta följande förklarande exempel för det sista resonemanget.
Låt matrisen vara diagonaliserbar och ha två dinstinkta egenvärden, och . Detta ger oss två egenrum, en linje och ett plan (eftersom att matrisen är diagonaliserbar och egenvärdena är två i antal måste en av dessa ha geometrisk multiplicitet två). Det är då tydligt att vi kan skapa en ortonormal bas för egenrummet som är ett plan, men för egenrummet som är en linje kan vi inte byta riktning på dess basvektor utan att få ett helt nytt rum. Linjen måste alltså skära planet ortogonalt för att matrisen ska vara ortogonalt diagonaliserbar, och därför gäller det analogt för högre dimensioner att samtliga egenrum måste vara ortogonala mängder.
För att ortogonalt diagonalisera matrisen gör vi följande:
Lös ut egenvärden och respektive egenrum för matrisen .
Skapa en bas av egenvektorer för respektive egenrum.
Applicera Gram-Schmidt för vardera egenrum.
Bilda matrisen och så att kolonnevektorerna till består av de ortonormerade egenvektorerna till och diagonalelementen till består i samma ordning av egenvärdena till respektive egenvektor.
Vad är spektralsatsen?
Spektralsatsen är en samling satser inom linjär algebra. För en grundkurs i linjär algebra avses oftast spektralsatsen som just en ortogonal diagonalisering av en kvadratisk -matris . Detta kräver som bekant att matrisen är symmetrisk och då gäller följande:
Spektralsatsen
Låt vara en -kvadratisk matris som är ortogonalt diagonaliserbar. Låt även dess egenvärden vara , , ... samt dess ortonormala egenvektorer vara , ,... . Vi har då att
varav sista raden brukar avses som spektralsatsen eller egenvärdesdekomposition.
