Intro
Det faktum att begreppet en rak linje framstår som ett av de fem inledande axiomen i Euklids "The Element" antyder både dess enkelhet och kraft.
Hans arbete, som introducerade rigorös matematik till linjer och plan, kallas ofta den mest inflytelserika läroboken genom tiderna.
Det är möjligt att Euklid aldrig existerade som en individ, utan var en pseudonym för ett team av matematiker.
För att vara författare till en bok som är så berömd vet vi väldigt lite om Euklid av Alexandria. Bristen på biografisk information om honom är ovanlig för grekiska vetenskapsmän från det tredje århundradet f.Kr. när han var aktiv.
Så ovanligt faktiskt att vissa historiker har föreslagit att namnet är en pseudonym som används av ett team av matematiker. Det verkar dock finnas ännu mindre bevis för att stödja detta påstående än det finns för att motivera Euklid som geometrins enda grundare.
Koncept
Punkter har ingen form eller storlek, utan definierar bara en plats i rymden. Ändå är denna egenskap tillräckligt för att definiera många intressanta strukturer, såsom linjer och plan.
Dessa enkla föremål är några av de grundläggande hörnstenarna i all geometri, som vi använder för att visualisera och tolka världen omkring oss.
En linje är en sammankopplad mängd punkter i 1D som sträcker sig oändligt i båda riktningarna. Därför kan en linje beskrivas fullständigt med endast två punkter på den, eftersom alla andra måste följa samma raka väg.
På liknande sätt, för att definiera ett plan, som är en 2D-yta av punkter som sträcker sig oändligt i alla riktningar, räcker det med tre punkter så länge de inte ligger på samma linje.
Summering
Som ett alternativ till att överväga flera punkter för att beskriva en linje eller ett plan, kan vi också använda vad som kallas en parametrisering.
Parametrisering använder en enda punkt på objektet, tillsammans med riktningsvektorer som anger i vilka riktningar objekten sprids genom vektorrummet.
Termen parametrisering kommer från det faktum att dess ekvationer använder parametrar för att skala riktningsvektorer. Dessa läggs till för att producera punkter på objektet.
Eftersom parametrarna går igenom alla möjliga reella tal, kommer parametriseringen att gå igenom alla punkter som hör till objektet.
Parametrisering för en linje tar formen:
Medan för ett plan är formen för en parametrisering :
Där p är en punkt på respektive objekt, är och motsvarande riktningsvektorer, medan s och t är parametrar.
Avstånd i rummet
Ett naturligt behov är att kunna beräkna avstånd i rummet. Det kan vara avståndet mellan två punkter, mellan en punkt och en linje eller mellan en linje och ett plan. Det finns avståndsformler för de olika fallen och de presenteras här.
Avstånd mäts alltid mellan två punkter och avståndsformeln är ekvivalent med att skapa en vektor mellan två punkter och räkna ut dess längd.
Det är lockande att lära sig dessa utantill men det rekommenderas inte, för det finns ett starkt samband mellan studenter som inte klarar tentamen och de som lär sig dessa formler utantill istället för att lära sig hantverket.
Avstånd mellan två punkter
Med ett avstånd avser vi alltid den kortaste sträckan mellan två punkter, vilket är förenligt med att räkna ut längden av en vektor som har skapats utifrån dessa två punkter. Då gäller funktionen för :
vilket kan kännas igen från längden av vektorn. Eftersom att varje vektor är en relativ differens i de olika leden, det vill säga en pil mellan två punkter, kan formeln för avståndet mellan punkterna härledas från definitionen av vektorns längd.
Vad som gäller vidare för avståndsformeln är:
Låt och vara punkter i rummet , då gäller att
om och endast om
Avstånd mellan punkt och linje
Vi går igenom två metoder för att räkna ut avståndet mellan punkten och linjen .
Metod 1: Kryssprodukt i
Låt
Tag en punkt som ligger på linjen . Med lite skaparglädje ser man att och spänner upp ett parallellogram med höjden . Arean är basen multiplicerat med höjden, som också är lika med längden av kryssprodukten . Därför kan vi dividera det sistnämnda med längden av basen (vektorn ) för att få ut höjden .
Ovan formel fungerar endast för eftersom att kryssprodukten endast då är definierad.
Metod 2: Projektion
Låt
Avståndet kan finnas genom projektion och att se följande samband enligt enkel vektorsummering:
Därför gäller att
Metod 3: Skalärprodukt
Det kortaste avståndet mellan punkten och den punkten på linjen vars vektor utgör en rät vinkel mot linjen. Om både och skulle vara kända punkter hade uträkningen av längden varit enkel, nämligen
Kom ihåg att , alltså att vektorn är ortogonal mot linjen . Vi finner den okända punkten genom att ställa upp motsvarande krav på , alltså ekvationen
eftersom att om de två är rätvinkliga så är skalärprodukten 0. Punkten är en okänd med flera koordinater, vilket ställer till det eftersom det rent praktiskt blir fler okända (en per koordinat) och vi har bara en ekvation, nämligen den ovan. Däremot kan punkten uttryckas med hjälp av parameterformen för för något okänt parametervärde
där och är kända. Vi gör följande substitution:
Ekvationen löses för det ända okända värdet, nämligen , för när vektorn bildar en rät vinkel med . När löst, sätt in i parameterformen och få den eftersökta punkten . Då har vi två kända punkter, och , och avståndet är längden av dess vektor
Metod 4: Skapa plan
Med lite skaparglädje kan vi konstruera planet som innehåller punkten och har en normalvektor parallell med riktningsvektorn för . Från det kan skärningspunkten mellan och bestämmas, som också kommer vara den närmaste punkten på linjen till . Tillvägagångssättet blir följande:
Skapa ekvationen
för planet med normalvektor = riktningsvektor för = .
Konstanten fås genom att sätta in punkten i planets ekvation.
Sätt in parameterformen för till planet . Lös ut för parametern (vi har en ekvation och en variabel).
Låt vara parametern som återger skärningspunkten . Sätt in i parameterformen för och få .
Räkna ut avståndet
Avstånd mellan punkt och plan
Låt vara ett plan och vara en punkt i rummet enligt följande:
Skapa linjen som går genom punkten och träffar planet under rät vinkel. Riktningsvektorn blir därför planets normalvektor (som vi läser av från planets ekvation). Vi får då:
Vi söker skärningspunkten mellan linjen och planet . Parameterformen för uttrycker alla punkter längs linjen och vi kan uttrycka varje sådan punkt på följande sätt:
Vår konstruktion av garanterar en skärningspunkt just för att riktningsvektorn är planets normalvektor. Därför stoppar vi in ovan uttryck i planets ekvation:
Ovan ekvation löses enkelt eftersom endast är okänd. Låt oss notera lösningen som
vilket också ger den eftersökta skärningspunkten när den stoppas in i parameterformen för . Punkten får därför följande koordinater
Nu är både och kända och därför räknas avståndet enkelt ut genom att skapa vektorn och beräkna längden:
Vilket leder till avståndsformeln för punkt och plan. Igen - det rekommenderas att minnas metoden fram till formeln, inte att minnas formeln utantill!
Linje
En rak linje har följande egenskaper:
oändlig längd och en punkt i bredd
har en fast position i rummet, till skillnad från vektorer
skrivs på parameterform i alla dimensioner och kan endast i två dimensioner entydigt skrivas som en ekvation
Linjens parameterform
Parameterformen för linjen , eller , skrivs på följande sätt:
där
är en känd punkt på linjen som avgör linjens position
är riktningsvektorn för linjen som avgör linjens riktning
är en parameter och antar vilket värde som helst mellan och
Parameterformen fungerar eftersom att uttrycket är summan av ortsvektorn och vektorn vars resultat är just punkten . Bilden visar att oavsett värde på blir resultatet en punkt på linjen . Notera att vi behöver veta två punkter på linjen för att skapa riktningsvektorn .
Linjens ekvation i två dimensioner
Linjens standardekvation är ett specialfall eftersom den endast kan uttryckas i :
För att konstruera ekvationen utgår vi från att skalärprodukten av två vinkelräta vektorer är 0, i detta fall normalvektorn och riktningsvektorn :
Där konstanterna , , och är
Förklaring
Nu härleder vi hur konstanterna , och bestäms för linjen :
är normalvektorn till
är en given punkt på
är en godtycklig punkt på
Härledningen följer att:
Plan
Ett plan har följande egenskaper:
är en platt, oändlig och tvådimensionell yta
har en fast position i rummet
kan både uttryckas på parameterform och skrivas som en ekvation
Planets parameterform
Parameterformen för ett plan är:
där
är en given punkt på planet
and är två olika vektorer som ligger på planet
är parametrar och antar vilka värden som helst mellan to .
Det räcker med tre kända punkter på planet för att uttrycka parameterformen. Låt , och vara tre kända punkter och vi kan då konstruera vektorerna
Planets ekvation
Standardekvationen för ett plan i är
där konstanterna är
Förklaringen bakom konstanternas definition är:
är normalvektorn till
är en känd punkt på
är en godtycklig punkt på
Grunden för konstruktionen av planets ekvation är att alla vektorer på planet har rät vinkel mot planets normalvektor , och därför är skalärprodukten dem emellan 0. Vi börjar med och härleder därifrån:
Den generaliserade formen för planets ekvation i är därför
Kom ihåg att ett plan alltid är tvådimensionellt, oavsett vilket rum det befinner sig i. Det är ett vanligt missförstånd hos nybörjare att planets ekvation måste ha precis två variabler, tex och . Men som ni ser ovan så kan planet ha flera variabler, upp till . Planets dimensioner är fortsatt två, därför den sträcker ut sig i rummet längs med två riktningar (kom ihåg planets parameterform). För att reda ut ihopblandningen av antalet variabler och dimensioner har vi följande tre minnesregler:
En punkt har 0 riktningar och 0 dimensioner
En linje har 1 riktning och 1 dimension
Ett plan har 2 riktningar och 2 dimensioner
Ett praktiskt exempel är att föreställa sig ett A4-papper inne i ett studentrum. Studentrummet har tre dimensioner (bredd, höjd och djup) medan A4-pappret har två dimensioner (bredd och djup). Rent krasst är detta exempel bristtälligt, dels för att pappret egentligen har en höjd på någon millimeter och dels varken är oändlig eller fullständigt platt (den har mikroskopiska ojämnheter). Som tur är kan en ingenjör den ädla konsten att effektivt förenkla verkligheten.
Skärning
Algebra och geometrisk tolkning
Exempel på en skärning och dess geometriska tolkning kan vara punkten där två linjer skär varandra eller linjen där två plan skär varandra.
Rent algebraiskt umgås vi med skärningar då ett ekvationssystem har lösning, dvs. vad ekvationerna i systemet har för gemensam punkt eller punkter. För varje ekvationssystem gäller alltid ett, och endast ett, av följande tre fall.
en unik lösning
oändligt många lösningar
inga lösningar
Här visualiserar vi tre exempel på de tre fallen av lösningar hos ett ekvationssystem i : unik lösning (en punkt), oändligt många lösningar (en linje) och inga lösningard.
Skärningspunkt mellan linjer i
För att finna skärningspunkten mellan två eller flera linjer i , och ekvationerna är givna, är det enklast att ställa upp ett ekvationssystem.
Lösningen , om den finns, är den sökta skärningspunkten. Lösningen finner vi maed hjälp av Gauss-Jordan eliminering.
Skärningspunkt mellan linjer i
För att finna skärningspunkten mellan två linjer, och , i är det enklast att ställa dess parameterframställningar lika varandra
och låsa en av parametrarna, och , till exempel . Då återstår
Då finns en ekvation och en variabel, nämligen parametern . Finns en lösning så får man den sökta skärningspunkten från parameterformen för då . Har man fler linjer gör man om förfarandet för samtliga linjer.
Skärning mellan plan
För att finna skärningen mellan plan visar vi här ett exempel för de tre planen , och i . Vi ställer upp ett ekvationssystem
Med hjälp av Gauss-Jordan eliminering löser vi ekvationssystemet. Ett, och endast ett, av följande tre fall kommer att då vara sant:
unik lösning - skärning är en punkt
oändligt många lösningar - skärningen är en linje
inga lösningar - planen skär inte varandra
Skärning mellan linje och plan
För att finna skärningen mellan linjen och planet i stoppar vi in linjens parameterform in i planets ekvation. Låt
Varje punkt på linjen kan uttryckas med hjälp av dess parameterform som
och eftersom att vi söker efter gemensamma punkt kan vi anta att sådan finns och sätta in uttrycket till ekvationen för :
Givet att är definierad, dvs nämnaren ovan är nollskild, sätts värdet in i parameterformen för för att få skärningspunkten.
Parameterform
Parametrisering är processen att skapa en parameterform som implicit beskriver en linje, kurva eller yta (även kallad mångfald). Tanken är att istället för att explicit med variabler uttrycka en ekvation använder man sig av en parameter som kan anta vilket värde som helst mellan och . Jämför dessa två uttryck:
Det vänstra uttrycket är parameterformen som beskriver samma linje som ekvationen (uttrycket till höger). Varje värde för uttrycker därmed implicit en unik punkt på linjen, medans ekvationen beskriver explicit balansen mellan varje - och -koordinat.
