Intro
När musiker hör ett ackord kan de ofta plocka fram de individuella tonerna som utgör det ackordet.
Musikerna gör faktiskt något väldigt matematiskt: de utför en Fouriertransform .
Vad Fouriertransformen gör är att plocka ut alla individuella toner som utgör en ljudvåg.
Fouriertransformen är ett exempel på en linjär transformation .
Koncept
När vi multiplicerar en vektor med en matris ändrar vi dess koordinater för att få tillbaka en annan vektor, som vi kan tolka som roterad, sträckt eller klämd på något sätt.
Alternativt kan vi också se denna förändring av en vektors koordinater som ett sätt att representera vektorn i en ny form, eller bas .
Det är ibland fördelaktigt att föreställa sig att vår matrismultiplikation gör båda. Med andra ord ändrar vi vektorns riktning och längd, och representerar den samtidigt på ett nytt sätt.
Anledningen är att det finns ett enkelt samband mellan den linjära transformationen och basbyte för vektorn som vi kan utnyttja.
Summering
Låt oss säga att vi har en vektor i standardbasen för delrummet och vi vill både tillämpa en linjär transformation , och representera den i en annan bas av samma delrum.
Följande schema representerar förhållandet mellan en linjär transformation och ett basbyte berättar att vi nu har två alternativ:
Multiplicera först med överföringsmatris för att representera i basen , och sedan med , avbildningsmatrisen för den linjära transformationen med avseende på .
Börja med att multiplicera med avbildningsmatrisen , innan du ändrar basen för denna produktvektor till genom att multiplicera den med .
Faktumet att:
Detta låter oss välja vilken metod som är lämpligast för ett visst problem.
Linjär avbildning med avseende på annan bas
Det är problem i linjär algebra som blandar linjära avbildningar och basbyten som brukar uppfattas som svårast att lösa. De båda hanterar matrismultiplikationen som kan beskrivas som
vilket kan vara förvirrande, men i korthet så är basbyten en linjär avbildning! Låt oss å ena sidan betrakta som en standardmatris och å andra sidan som en övergångsmatris.
Standardmatris
Låt vara en linjär avbildning och dess standardmatris uttrycks då med avseende på standardbasen som:
Övergångsmatris
Låt
vara baser för . Då har vi att övergångsmatrisen från basen till uttrycks som
Standardmatris med avseende på annan bas
Som vi har behandlat så kan en matris både avse en standardmatris för linjär avbildning som en övergångsmatris för ett basbyte. Önskar vi att ta fram standardmatrisen för linjära avbildningen med avseende på basen så är det fritt fram att beräkna följande (som följer analogt från de två uttrycken ovan):
Uträkningen ovan tar dock ganska mycket beräkningskraft (både för datorer som för människor) och därför är det ibland lämpligt att utnyttja följande schema.
Schemat visar förhållandet mellan matriserna (standardmatris), (övergångsmatris) och (standardmatris med avseende på basen ) samt vektorerna , , och . Schemat läses på följande sätt: tänk att vi utgår från vektor och vill uttrycka avbildningen respektive koordinatvektorn . Detta uppnår vi med hjälp av matrismultiplikation med respektive :
Synar vi schemat vidare ser vi två uttryck ta form för utifrån vektorn , via ett halvt varv medurs respektive moturs:
Detta implicerar att matrismultiplikationen måste vara lika med . Följande ekvationer är alltså ekvivalenta och alla kan välja sin favorit.
