Linjära avbildningar

Välkommen till den roligaste delen av kursen linjär algebra! detta avsnitt kan vara något krävande för nybörjaren, men med rätt introduktion och rätt tempo kan även detta avsnitt göras riktigt trivsamt. Kursen i linjär algebra handlar nästan endast om följande ekvation

Hittills har vi betraktat ekvationen som ett linjärt ekvationssystem och bestämt lösningsmängderna för de tre fallen: unik lösning, oändligt med lösningar och inga lösningar. Nu ska vi betrakta matrisen från ett annat perspektiv, nämligen som en linjär avbildning. Vi ska fokusera på egenskaperna till matrisen från perspektivet att se som en funktion. Låt oss igen ta samma ekvation men istället döpa vektorerna och .

Nu har vi inga okända och kan istället se som en funktion som avbildar vektorn på vektorn . Detta avsnitt handlar om hur kan se ut, hur avbildningen sker och med vilka geoemtriska tolkningar. Vi startar med att gå igenom vad som allmänt gäller för definitionen av funktioner, det vill säga, något som gäller även utanför denna kurs.

Detta avsnitt är lite svårsmält för vissa, så det går bra att avvakta med det för nu. Men det är viktigt för nybörjaren att träna sitt abstrakta tänkande och detta förklarar analogin mellan linjär avbildning och funktioner som man lärt sig i kurser i calculus.

Se på bilden! vi har två mängder, ett till vänster och ett till höger. Låt vara en funktion som relaterar element från vänster mängd till höger mängd. Då kallas vänster mängd för definitionsmängd till medan höger mängd kallas för målmängd till . Låt oss se definitionsmängden som en input till , då har vi en mängd element till höger som vi kan se som en output till . Om vi noterar input till som så kallas output av för , värdet av eller bilden av . Vidare säger vi att avbildar på . Det är vanligt att notera output med en enda variabel , som i . Dock behöver inte vara hela målmängden, utan det är vanligt att täcker en delmängd av målmängden, som kallas för värdemängd eller bilden.

Tre nyttiga definitioner angående funktioner (och linjära avbildningar för den delen) är injektiv, surjektiv (avbildning på) eller bijektiv (entydig avbildning). Vi sammanfattar med

En snygg observation som kan göras av nybörjaren är att man kan definiera en bijektiv avbildning som både injektiv och surjektiv. På engelska kan även en surjektiv avbildning kallas för onto och en bijektiv avbildning för one-to-one.

Låt vara . Då har vi följande:

Låt vara . Då har vi följande:

Låt vara . Då har vi följande:

Låt oss återbesöka ekvationen igen

och fokusera inte för mycket på att och brukar noteras som okända vektorer, det är vanligt att använda sig av samma notation i dessa sammanhang. Minns nu att matrisen avbildar på vektorn . Men vad är då en avbildning? En avbildning är en funktion vars input och output är vektorer och kan även kallas för transformation. En avbildning noteras vanligtvis med versaler som , eller . Om är en avbildning som avbildar vektorn från delrummet (noteras som och läses som " i ") på från delrummet noteras denna relation detta ibland som

som läses som " avbildar på ".
I en kurs i linjär algebra brukar rummen för definitionsmängd och målmängd vara definierade, så låt till exempel vara och vara , så att

brukar vara en mer välbekant notation i denna kurs.

Linjäritet eller linjärt system utanför matematiken brukar definieras något som har en proportionell relation mellan input och output. Det vill säga, har du ett system som returnerar lika mycket mer i output som du ökade input med, uppfyller det villkoret för linjäritet. Ett mycket talande exempel är från privatekonomin där vi tänker oss ett sparkonto utan sparränta. Låt oss anta att att vi har ett månadssparande om 10 USD. Det betyder att vi har sparat 120 USD på ett år och 1200 USD på tio år. Skulle vi spara det dubbla, det vill säga med en faktor 2, skulle vi ha sparat 2400 USD på tio år. Skulle vi istället spara på två sparkonton separat med 10 USD i månaden får vi även då samma slutsumma. Detta är exempel på linjära system och även introduktionen till definitionen av linjär avbildning.

Satsen leder till att om

är en linjär avbildning så gäller att

Innan vi går in på vad en avbildningsmatris är ska vi först fastställa att alla linjära avbildningar från till är matrisavbildningar. Först visar vi att en matrisavbildning är en linjär avbildning, sen visar vi att en linjär avbildning måste vara en matrisavbildning.

Ovan -matris som noteras som kallas för standardmatris. Den noteras ofta i litteraturen som eller för respektive linjär avbildning eller . Den kan även enkelt noteras som . De två tidigare nämnda noteringarna skrivs:

och vi använt i en mening kan vara standardmatris för , är avbildningen under eller att är avbildningen representerat av .
Insikten i ovan sats är så pass intressant att vi sammanfattar det igen här. Beviset är redan klart i föregående sats.

Låt vara en avbildning som med hjälp av matrisen avbildar till :

Då har vi att

Då har vi att vi kan uttrycka avbildningen som

och att avbildar på

Summerar vi som i förra avsnittet har vi att:

Att värdemängden är ett plan brukar behöva en ytterligare förklaring, men ser ju ut som följande:

Notera sista raden! visst kan den jämföras mot planets parameterform? nämligen

Detta brukar vara en anledning till ytterligare förvirring för nybörjaren, men vi introducerar den här aspekten tidigt för att kunskapen ska hinna mognas till insikt innan tentamen. Allt innehåll i linjär algebra hänger ihop, vilket gör kursen konceptuellt svår. När man ser sammanhangen för vad de är utan att bli förvirrad, då vet man att insikten är på plats!

Låt vara avbildningen via matrisen

Då har vi att

Vi säger att kollapsar på . Just detta fall låter varje partal och i punkten i kollapsa på punkten i .

Tre typer av linjär avbildning alla behöver hantera, förstå och kunna härleda är rotation, projektion, och spegling.

Med rotation som linjär avildning menas en matris , kallat rotationsmatris, som avbildar varje vektor till en rotation runt origo med given vinkel . Detta förväntas nybörjaren lära sig både för och , och som vanligt rekommenderas det att först försöka förstå istället för att först lära sig formler utantill.

Låt vara resultatvektorn av en godtycklig vektor som har roterats moturs runt origo med vinkeln . Då har vi att standardmatrisen returnerar enligt följande

Enligt den allmänna formeln för standardmatrisen för en linjär avbildning kan vi uttrycka för

som

Alltså kan avbildningsvektorn uttryckas som

Sista raden är en linjärkombination av två vektorer med skalärerna och . Rent grafiskt kan detta härledas med hjälp av enhetscirkeln och nybörjaren förväntas kunna både den samt värdena av cosinus, sinus och tangens för standardvinklarna

Rotation runt origo i 3 dimensioner ställer följdfrågorna runt vilken axel? och med vilken orientering?. Svaret på andra frågan får vi med hjälp av högerhandsregeln som definierar riktningen för en vald vinkel (i två dimensioner blir det så enkelt som moturs eller medurs). Vektorn kan roteras runt -axeln, -axeln eller -axeln. Roteras den runt flera så är det enklast att ta fram rotationsmatrisen för var och en av axlarna och därefter multiplicera ihop dem (kallas sammansatt avbildning). Rotationsmatrisen i härleds med hjälp av rotationsmatrisen i som vi härledde i avsnittet innan. Låt oss börja med ett exempel där vektorn roteras runt -axeln. Det betyder att vi låser -koordinaten för och tillämpar rotationsmatrisen endast för - och -koordinaten. Vi börjar bakifrån och har att

där de gulmarkerade elementen kan kännas igen som -rotationsmatrisen i en del av -rotationsmatrisen som vi noterar . Lägg märke till att sista radens resultatmatris är -koordinaten låst med och som dessutom inte påverkar - och -koordinaterna. Där finner vi istället den igenkända uttrycket för vektorn avbildad under -rotationsmatrisen. Analogt kan vi komma fram till motsvarande -rotationsmatriser och med rotation runt - respektive -axeln. Vi definierar alla tre.

Notera dock hur minustecknet byter plats för . Detta är förknippat med att man vill vara konsekvent med orienteringen av de tre axlarna och kopplat till högerhandsregeln. För nu, är rekommendationen att köpa sig in på det då fullständig förståelse kan kräva ganska mycket nedlagd tid som kan användas på annan del av materialet i kursen.

Projektionsmatrisen tar en vektor och ortogonalt projicerar den på en linje i eller på en linje eller plan i med hjälp av projektionssatsen. Vi går igenom bägge standardmatriserna här.

Låt vara projektionen av vektorn på vektorn . Då gäller det att standardmatrisen är

För att härleda standardmatrisen minns vi projektionssatsen för projicerat på som

men där vi istället låter vektorerna vara

Då kan vi härleda standardmatrisen som

och sista raden visar formeln för standardmatrisen .

Låt oss ta den linjära avbildningen

som projicerar vektorn på vektorn

Från härledningen i -projektionsmatrisen har vi att standardmatrisen är

Alltså, standardmatrisen för linjära avbildningen av projektionen på en vektor i är

Låt

vara den linjära avbildningen som projicerar en vektor på planet med normalvektorn . Då har vi att standardmatrisen är

där är identitetsmatrisen i och den högra matrisen känner vi igenom som standardmatrisen för projektion på vektor i . Tyvärr kan inte standardmatrisen A noteras vackrare, utan enklast är att sätta in siffror från den givna normalvektorn först och sen göra subtraktionen. Härledningen är ganska enkel, så pass att vi lärde oss detta redan i början av kursen, nämligen summering av två vektorer. Se bilden! där definierar vi den projicerade vektorn på planet , , som summan

där är projektionen av på planets normalvektor .

Det leder till att vi har att

där är standardmatrisen för projektion på vektorn . Därmed har vi härlett definitionen för standardmatrisen ovan.

När vi väl har förstått projektionen på godtyckligt plan så kan vi återanvända formeln för projektion på koordinatplanen. Vi har tre koordinatplan i , nämligen, -planet, -planet och -planet. Vi tar exemplet för -planet. Låt

vara en linjär avbildning, med standardmatris , som projicerar godtycklig vektor på -planet. Det innebär att

eftersom att koordinaterna och består, men då vektorn är projicerad på -planet, så blir -koordinaten 0. Vi kan både algebraiskt och geometriskt härleda standardmatrisen till

och vi kan även bekräfta med hjälp av formeln för standardmatris för projektion på godtyckligt plan. Analogt gäller för de övriga två standardmatriserna för projektion på koordinatplanen. Vi sammanfattar alla tre:

Med spegling av en vektor avses alltid i förhållande till en linje, eller ett plan, där resultatvektorn landar som en spegelbild på andra sidan.

Vi har linjära avbildningen

som speglar vektorn med avseende på linjen med riktningsvektor . Dess standardmatris är

där är -projektionsmatrisen som projicerar en godtycklig vektor på linjens riktningsvektor . Vi döper resultatvektorn av projektionen för . (Kom ihåg att projektionsformeln hanterar två vektorer, så även om vi projicerar på en linje så behöver vi ha en riktningsvektor). Enligt bilden kan vi skriva resultatvektorn som är speglingsvektorn av runt linjen som summan

som knyter samman definitionen av standardmatrisen ovan. Speglingsmatris för en linje i och för ett plan i kan härledas analogt.

Detta är ett mycket tekniskt avsnitt och därför har fokus varit extra på att hålla det kort. Det är ett koncist avsnitt för den delen av glosförhöret som varje tentamen i linjär algebra erbjuder.

En linjär operator kan referera till olika definitioner. Inom grundkursen i linjär algebra är det hyfsat konventionellt att en linjär operator refereras till att vara en linjär avbildning med specialfallet att dimensionerna mellan definitionsmängden och målmängden är samma. Nämligen att

Helt enkelt, vi har dimensioner både till vänster och höger om pilen. Om det inte skulle vara fallet så har vi ingen linjär operator, utan endast en linjär avbildning (givet att definitionen för linjär avbildning infrias). Exempel på linjära operatorer i projektion, spegling och rotation. De två sistnämnda är dessutom kallade för att vara linjär isomorphism, vilket handlar om att avbildningen är inverterbar, det vill säga är en bijektion.
Om en linjär operator har en längdkonserverande egenskap, det vill säga att

kallas operatorn för en ortogonal operator. För dessa gäller följande sats.

En ortogonal operator föranleder till definitionen av en en ortogonal matris.

Vilket i sin tur föranleder till följande sats:

Och slutligen knyter vi ihop samtliga satser och definitioner med följande