Intro
För att hjälpa oss att navigera är det till stor nytta att ha en miniatyrversion av vår omgivning som talar om för oss vart vi ska gå.
Av praktiska skäl brukar vi låta tvådimensionella illustrationer representera geografin för det tredimensionella jordklot vi lever på. Detta är ett exempel på en projektion .
Eftersom man går från en högre dimension ner till en lägre, förvrängs viss information. Till exempel ändras den relativa storleken på länder när man jämför länder nära eller långt borta från ekvatorn.
Det är denna process, känd som mercators projektion , som gör att Grönland verkar vara lika stort som hela Afrika, medan det i verkligheten är ungefär lika stort som bara Algeriet.
Koncept
Projektionen av en vektor på en annan vektor hittar komponenten av som är justerad i riktningen för .
Projektioner är inte begränsade endast till vektorer på vektorer, utan det är det enklaste fallet eftersom en vektor är ett endimensionellt delrum av .
Projektionen av en vektor på ett delrum extraherar den del av vektorn som finns i det delrummet
Mer generellt kan dock en vektor projiceras på ett delrum av av vilken dimension som helst. Efter projektionen står vi sedan kvar med den del av som ligger i alla -dimensioner spännda av och ignorerar resten av .
Summering
Vi betecknar projektionen av på en annan vektor som . Denna projektion hittas med hjälp av formeln:
Alternativt kan vi uttrycka projektionen som en linjär transformation med avbildningsmatrisen :
där vi har:
Linjära transformationer kan också användas för att projicera på ett delrum . Även om i detta fall ges av uttrycket:
så att:
där matrisen bildas genom att arrangera en mängd bas som spänner över som kolonnvektorer.
Projektionsformel för en vektor
Introduktion
Vi har redan blivit bekanta med att projicera vektorer på vektorer, vilket är känt som projektionsformeln. I den här föreläsningsanteckningen kommer vi inte bara att täcka det mer allmänna projektionssatsen, utan också det intressanta problemet med att projicera en vektor på ett delrum av , som används för Gram-Schmidt. Detta är en generalisering av projektion på en enskild vektor, eftersom den enskilda vektorn spänner över en linje i , vilket i själva verket är ett delrum av
Projektionsformel för en vektor
Så vi känner till projektionsformeln för en vektor på en linje som spänns upp av vektorn som:
där täljaren är ekvivalent med skalärprodukten som användes när formeln ursprungligen introducerades. En vektor har alltid dimensionerna medan dess transponering har sina dimensioner motsatta, nämligen .
Projektionsformeln kan reduceras om vektorn redan är normerad, eftersom nämnaren blir då 1 eftersom att :
Att göra kopplingen av projektioner till linjär avbildning väcker frågan, vad är standardmatrisen för att projicera en vektor på en linje som spänns upp av ? Härledningen kan generaliseras för den icke-normerade vektorn , men vi fortsätter med specialfallet med som normerades och anger sedan det allmänna fallet som en sats. Kom ihåg att behålla dimensionskravet för multiplikation av vektorer och matriser intakt! Vi har att:
där resulterar i en matris, som är vår standardmatris för den linjära transformationen för att projicera på med normen lika med 1. Vi har det allmänna fallet som följande sats:
Låt vara en nollskild vektor i uttryckt i kolonnform, vilket betyder att den har dimensionerna . Vi har då standardmatrisen för den linjära avbildningen för att att projicera en vektor på som:
så att:
Matrisen är symmetrisk har har rang 1.
Kolonnvektorerna till standardmatrisen för en linjär avbildning är avbildningarna av standardbasvektorerna under :
Med stöd av projektionsformeln och det faktum att standardbas-vetorn har endast den k:te komponenten som nollskild (som är 1), har vi att k:te kolonnen för vår standardmatris blir:
Genom att tillämpa denna användbara information har vi härledningen för :
Projektionsformel för ett underrum
Efter en noggrann sammanfattning och härledning av projektionsformeln på en vektor gör vi nu saken kort för projektionsformeln för ett delrum. Problemet vi står inför är hur man projicerar vektorn på ett delrum till ? Vi är intresserade av:
Detta är det allmänna fallet med projektion av på en vektor , vilket är specialfallet för projektion för ett delrum, när delrummet är en linje som spänns upp av vektorn . Det finns två sätt att lösa denna fråga, det ena är att bestämma en bas för och det andra är att bestämma en ortonormal bas för . Det senare är bara ett specialfall av det förra, men det minskar problemet betydligt. Vi börjar med att introducera satsen för det allmänna fallet, där vi inte har några ytterligare krav på basen för .
Låt vara ett delrum till uppspännt av basen
Vi har då att standardmatrisen för den linjära avbildningen av att projicera en vektor på delrummet är definerat som:
där är en matris med kolonner bestående av basvektorerna till :
Därmed har vi att:
För specialfallet då formar en ortonormal bas har vi att är en orthonormal matris (kallat ortogonal som oftast) och att:
Detta resultat reducerar standardmatrisen i ovan sats till:
Om vi tar en närmare titt på ser vi att vi kan utveckla uttrycket till något som ger en intuitiv mening:
Från sista raden minns vi standardmatrisen för projektion av en normerad vektor , vilket leder till den intuitiva tanken att skriva om projektionen på ett delrum till:
Så om är en ortonormal bas för delrummet , kan vi projicera en vektor på antingen genom att producera standardmatrisen med basvektorerna till som kolonner, eller så kan vi producera linjärkombinationen av projektioner på varje enskild basvektor .
Projektionssatsen
Innan vi dyker in i projektionssatsen börjar vi med en uppvärmning. Låt oss säga att vi har en vektor och en linje uppspännd av vektorn . Detta innebär att vi unikt kan uttrycka med projektionsvektorn på och dess ortogonala komplement , som är en vektor ortogonal mot linjen . Vi har att:
Det här exemplet är intuitivt, men vad händer när vi istället för att arbeta med en linje i betraktar delrummet i med dimensionen ? Det råkar vara så att förhållandet för detta speciella fall gäller även för högre dimensioner. Vi har följande sats känd som projektionssatsen för delrum:
Projektionssatsen för delrum
Låt vara ett delrum till . Vi har då att varje vektor can på ett unikt sätt uttryckas som:
där och , kallat det ortogonala komplementet till .
Vi känner igen och kan använda oss av projektionsformeln för delrum för att bestämma . Vektorn följer genom att enkelt subtrahera med , så som satsen föreslår.
