Kvadratisk form

En kurs i linjär algebra utmattar mer eller mindre följande uttryck

i studiet av linjära ekvationer och linjära system. Vi har bara övervägt variabler i första potens, vilket betyder att vi inte har några variabler som drivs av två eller högre. I motsats till linjära former, överväger vi nu kvadratiska former:

där är alla möjliga korsprodukttermer där och är distinkta. Betrakta följande exempel för respektive för ett förtydligande av produkttermerna:

En allmän kvadratisk form för ser ut som:

medan kvadratiska formen för ser ut som

Båda exemplen kan skrivas om till matrisform:

Observera att matriserna som används ovan är symmetriska, med deras diagonala element som motsvarar koefficienterna för de kvadratiska termerna. Vi kallar funktionen

den kvadratiska formen för , som också kan uttryckas med hjälp av en skalärprodukt:

På tal om kvadratiska former, det finns tre stora problem, eller frågor, som man snubblar över om dem. När vi studerar den kvadratiska funktionen

beaktar vi följande tre frågeställningar:

De två första frågorna behandlas här, medan den tredje anses vara en del av den matematiska grenen Optimeringsteori, och behandlas därför inte i detta avsnitt. Vi börjar med att dela ett praktiskt förhållningssätt till fråga nummer ett, följt av att introducera namnen på ytorna och koppla dem till egenskaperna hos matrisen .

Huvudaxelform kommer att användas för att besvara följande problem relaterade till kvadratiska funktioner:

Frågeställningen är inte uppenbar att besvara när man hanterar kvadratiska funktioner på grund av dess korstermer. Den är därför mycket mer lättbesvarad när det inte finns några korstermer att beakta. Låt oss börja enkelt!

Först återbesöker vi kvadratiska formen för utan några korstermer:

Notera att vi döper matrisen för denna kvadratiska form till , eftersom att matrisen är diagonal när korstermer saknas. Som följande:

Eftersom att alla variabler kvadreras, och gör därmed eventuellt negativa komponenter i till positiva, så bestäms tecknet för av koefficienternas tecken. Vi har följande tre fall för summan :

Detta är väl bra, men när man betraktar den allmänna kvadratiska formen för ,

så stöter vi på korstermer, och de gör det komplicerat att avgöra vilka värden antar. Men tänk om vi kunde överföra till utan korstermer? skulle inte det vara trevligt? Nyckeln är att matrisen är symmetrisk, vilket betyder att är ortogonalt diagonaliserbar. Kanske tänder detta en gnista?

Först en sammanfattning!

Kom ihåg att alla symmetriska matriser är ortogonalt diagonaliserbara. Det följer att det finns en ortogonal matris av egenvektorer, och en diagonal matris av egenvärden, så vi kan skriva om till:

där eftersom att är en ortogonal matris.

Nu är vårt tillvägagångssätt att härleda vilka värden antar genom följande tankesätt för att bli av med korstermer:

Enkelt nog va? Låt oss göra just det! Vi har att:

Vi kan nu enkelt avgöra vilka värden antar via inspektion av (utan korstermer) och applicera våra tidigare tre fall för summan av . Detta resultat utgörs av följande sats:

På tal om en kvadratisk funktion, frågas man om den endast antar positiva värden, endast negativa värden eller båda. För att bestämma fallet för en specifik kvadratisk funktion blir vi av med korstermerna genom att tillämpa satsen för huvudaxelform för att omvandla den till den kvadratiska funktionen . Sedan härleder vi enkelt det aktuella fallet för den givna genom inspektion av . Varje fall är naturligt förknippat med ett namn, och namnen är positiv definit, negativ definit respektive indefinit.

Låt vara en kvadratisk funktion och vi transformerar den till

där egenvärdena till matris berättar vilka värden antar. Vi har att:

Observera att vi i ovanstående tre fall referear till koefficienterna som egenvärden till , eftersom det är vad satsen om huvudaxelform ger oss. Nu till vad vi kallar funktionen (och dess motsvarande matris , för den delen) för vart och ett av fallen:

Dock krävs ytterligare två fall, positiv semidefinit och negativ semidefinit, för att slutföra alla möjliga utfall, vilket leder till totalt fem fall. Vi sammanfattar alla fem här, med motsvarande krav på egenvärdena för .

Den andra frågan som man kommer att tänka på när man talar om kvadratiska funktioner är grafisk och därför kopplad till fallet eller . Frågan är:

För att svara på frågan måste vi introducera begreppet kägelsnitt. Kägelsnitt är resultatet av att skära en dubbelkon med ett plan. De viktigaste kägelsnitten är illustrerade nedan: cirkel (vänstra översta), ellips (högra översta), parabel (vänstra nedersta) och hyperbel (högra nedersta).

Vi diskuterar inte den analytiska geometrin här, utan ger ett smakprov på hur den kvadratiska formen är relaterad till kägelsnitt.

Så låt oss säga att vi har en andragradsekvation i att lösa, som i

där är en konstant. Om ekvationen är för ett kägelsnitt, och om , så kan vi enkelt dividera bägge led med för att uppnå

där

Genom att rotera koordinataxlarna för att eliminera möjliga korstermer (enligt satsen om huvudaxelform) har vi reducerat den ursprungliga ekvationen till

där och är egenvärden till matrisen , och de bestämmer vilket typ av kägelsnitt som representeras av denna ekvation i följande tre fall om är en matris:

I fallet med ellipsen kan ekvationen ovan skrivas om som

vilket kan bli igenkänt av läsaren som en ellips med respektive axellängder:

Specialfallet för en cirkel sker när: