Determinanter

Innehållsförteckning

Varför heter det Cramer's regel?

År 1750 publicerade Gabriel Cramer ett dokument som beskriver den berömda tekniken som idag bär hans namn: Cramers regel . Det schweiziska geniet hade insett att determinanter kan användas för att lösa linjära ekvationssystem.

Vid en ålder av bara 18 tog Cramer sin doktorsexamen vid universitetet i Genève. Institutionen var så imponerad av den unge matematikerns förmågor att de skapade en ny position för honom som medordförande för matematik vid universitetet.

Som det visade sig var detta ett smart drag av universitetet och gynnade hela staden Genève.

Cramer stannade vid universitetet för resten av sitt liv, där han reformerade utbildningen så att matematik skulle undervisas på franska och inte bara på latin, och därigenom nå en bredare publik.

Vad är definitionen av determinanten?

Determinanten för en matris är ett skalärt värde betecknat med eller . För att ska existera måste matrisen vara kvadratisk, och om den är det avslöjar information om lösningarna till det ekvationssystem som matrisen utgör.

Om determinanten är noll har vi oändligt många eller inga lösningar på det givna systemet. Alla andra värden innebär att det finns en unik lösning.

För matriser vars determinanter är noll kan vi vara säkra på att det antingen finns ett oändligt antal lösningar eller ingen av dem. Dessutom kommer en determinant som inte är noll alltid att ge upphov till en unik lösning.

Värdet på determinanten är också nära relaterat till inversen av en matris. Om och bara om en matris har en determinant som inte är noll, är den inverterbar och vi kan använda determinanten för att hitta den inversmatrisen.

Vidare ger determinanten skalfaktorn för den linjära transformation som en matris beskriver.

Hur hittar man determinanten för en kvadratisk matris?

För att hitta determinanten för en kvadratisk matris (den måste vara kvadratisk), kan vi använda metoder som Leibniz-formeln eller Laplace-expansion, som alltid kommer att fungera. Det finns dock genvägar som vi kan använda i vissa fall.

Om är en matris, kan dess determinant hittas snabbt med hjälp av följande formel:

Om vi istället har att göra med en matris, är detta formeln att använda:

Mer om determinanten

Introduktion

Determinanten kan introduceras både sent och tidigt i en kurs i linjär algebra. Traditionellt sker introduktionen att först gå igenom hur determinanten beräknas för att senare berätta om den praktiska kopplingen och dess geometriska tolkning.

Vi väljer att göra tvärtom.

Determinanten är en skalär och noteras

En praktisk koppling

Determinanten berättar om ett linjärt ekvationssystem har lösningar eller inte. Minns de tre fallen: unik lösning, oändligt många lösningar eller inga lösningar. Om determinanten är noll gäller det att systemet har "oändligt många lösningar" eller "inga lösningar". Om determinanten är nollskild gäller att systemet har en unik lösning.

En geometrisk tolkning

Determinanten tolkas geometriskt som skalfaktorn för en linjär avbildning, som nybörjaren tyvärr oftast inte blivit introducerad till då räkneuppgifter på determinanten ska lösas. Kortfattat är varje matrismulplikation en linjär avbildning, men från ett praktiskt perspektiv kan man säga att det är en matris som med multiplikation av en vektor påverkar den på önskat sätt. Ett enkelt exempel skulle vara att den linjära avbildningen roterar medurs med vinkeln och dessutom dubblar dess längd. Då skulle skalfaktorn, det vill säga determinanten, till vara .

2x2 determinant

Definitionen av determinanten för en -matris utgör grunden för att beräkna determinanten för en -matris. Låt

varpå definitionen av determinanten är

3x3 determinant

Algoritmen för att beräkna -matrisens determinant görs med hjälp av summan av tre -determinanter. Dessa producerar vi genom att utveckla en enskild rad, eller kolonn, i -determinanten (kallat kofaktorexpansion). Låt

och då gäller för determinanten av att

där vi har gjort en radutveckling av första raden, eftersom skalärerna till var -matris är just elemnten från första raden. Nu går vi igenom hur utvecklingen går till. Betrakta determinanten av :

Vi startar med att utveckla längs med första raden och börjar med första elementet

Utvecklingen sker då genom att markera det gällande elementets rad och kolonn för att extrahera de återstående elementet som en -determinant multplicerat med :

Vi går vidare till nästa element längs med första raden, , och får:

Lägg märke till att utvecklingen kring kommer med ett minustecken! Vi återkommer till det strax. Nu fortsätter vi med nästa, och sista, elementutvecklingen för .

Notera att elementet kommer med ett plustecken! Nu avslutar vi beräkningen med hjälp av definitionen av -determinanten:

Vilket avslutar formeln för -determinanten samt den algoritm som gör definitionen enkel att minnas istället för att lära sig formeln utantill (något som krävs för att inte förbli nybörjare).

Alternativ formel

Metoden ovan kan enkelt utvidgas analogt till större matriser, varför vi inledde med att gå igenom den. Det finns dock en alternativ algoritm som gäller för just -determinanten, som påminner visuellt om definitionen av -determinanten:

Förlänger vi detta tankesätt får vi en metod som fungerar, men fungerar endast för uträkning av -determinanter. Metoden heter Sarru's regel.

nxn determinant

Beräkningen av determinant oavsett dimension på matris görs analogt som vi gick igenom för -determinanten - vi kan uttrycka det som en algoritm för varje -determinant. Men innan vi gör det förklarar vi faktumet att elementet i beräkningen av -determinanten bar ett minustecken. Betrakta -matrisen . Då gäller att varje extraherat element i dess determinant bär med sig ett plustecken eller minustecken beroende på position, enligt följande schackmönster:

Det betyder att för -determinanten gäller att det dolda tecknet för varje element följer

så skulle vi till exempel välja att utveckla längs med andra kolonnen så blir produktsumman

Notera att plustecken och minustecken skrivna inom ovan determinanter inte ska göras i någon uträkning, utan har nu gjorts utifrån ett pedagogiskt syfte endast.

Generella formen av en utveckling längs med en rad(cofaktor-expansion) för determinanten av en -matris skriver vi som:

där är varje elemnt i valda raden och är kofaktorn som är den -determinanten av de övriga elementen som inte delar rad eller kolonn med motsvarande .

Algoritm för beräkning av nxn-determinant

välj en rad, eller kolonn, som ska utvecklas till den produktsumma av matriselement och -determinanter
för varje element i valda raden/kolonnen \\
- extrahera ett element med det plustecken, eller minustecken, det bär och multiplicera med \\
- den -determinant av de element som varken delar rad eller kolonn med det extraherade elementet \\
- gör om tills samtliga element i valde rad/kolonn är extraherade
gör om ovan steg tills sista produktsumman endast innehåller -determinanter

Algoritmen visar att beräkningen av en determinant kan bli extremt arbetsamt om dimensionen är hög.

Notera dock fördelen med att extrahera en rad, eller kolonn, vars många element är noll! Det innebär att den utvecklade produktsumman blir kraftigt recuderad. Exempelvis som i

Om determinanten man beräknar saknar 0-element, eller inte har tillräckligt många för att kraftigt förenkla beräkningen, kan man likt med Gauss-Jordan radreducera determinantmatrisen utan att determinanten ändras. Detta, och fler egenskaper, gås igenom i nästa avsnitt.

Adjungerad matris

Den adjungerade matrisen utgår från kofaktorexpansionerna till . Denna blir intressant i en sats för uttrycket av , om inversen existerar. Vår definition av adjungerade matrisen är

Om är en -matris och är kofaktorn till , så följer det att matrisen

kallas för kofaktormatrisen till A. Trapsonatet av denna matris kallas adjungerade matrisen till och noteras som .

Med hjälp av den adjungerade matrisen till kan vi myucket enkelt uttrycka om inversen existerar med hjälp av följande sats som vi lämnar obevisad.

Om är en inverterbar matris så gäller att

Exempel på allt detta tar vi nu. Låt vara följande, inverterbara matris

varav kofaktorerna blir

och därmed blir kofaktormatrisen och adjungerade matrisen följande

Determinantens egenskaper

Vi startar med en nyttig sats om lagarna för att radreducera determinanten före en radutveckling för att maximera antalet 0-element.

För varje -matris gäller att

om matris är resultatet av en skalär multplicerad med en rad, eller kolonn, i matris gäller att
om matris är resultatet av att två rader, eller kolonner, har bytt plats i gäller att
om matris är resultatet av en multipel av en rad, eller kolonn, i matris adderas till en annan rad, eller kolonn, så gäller att

Beviset för första och tredje punkten är en bra övning för nybörjaren, och det räcker med ett direkt bevis för en -determinant och därefter en -determinant för att bli övertygad. För att skapa ett hållbart matematiskt bevis är ett induktionsbevis rekommenderat. Andra punkten följer från determinantens definition med det schackmönstrade teckenschemat i tidigare avsnitt.

Med hjälp av förra satsen kan vi komma följande sats

Låt vara en -matris.

om två rader eller kolonner är lika så gäller att
om en rad eller kolonn kan radreduceras till 0 så gäller att
om är en skalär gäller att

Nu är vi mogna för den mest ihågkomna satsen hos studenter, som baseras på de två senaste och beviset vi har redovisat för hur en inverterbar matris kan radreduceras till

En kvadratisk matris är inverterbar om, och endast om, .

Antag att kan radreduceras till , då gäller att

Antag det motsatta, att kan inte radreduceras till , men till . Det innebär att inte är inverterbar eftersom att minst två rader i är linjärt beroende och vi får minst en nollrad i . En enda nollrad resulterar i att

En annan nyttig sats för aritmetik är

Om och är kvadratiska matriser med samma dimensioner så gäller att

För inversen gäller följande sats

Om matrisen är inverterbar så gäller det att

Minns att . Då har vi att:

Eftersom att har vi att

Vi avslutar detta avsnitt med att knyta ihop en sats som introduceras med invers och linjära ekvationssystem tillsammans med våra insikter med determinanten.

Låt vara en -matris. Då är följande påståenden helt förenliga.

Den reducerade trappstegsformen för är
kan uttryckas som en produkt av elementära matriser
A är inverterbar
har endast den triviala lösningen
är konsistent för varje vektor i
har exakt en lösning för varje vektor i
Kolonnvektorerna i är linjärt oberoende
Radvektorerna i är linjärt oberoende

Cramer's regel

För varje ekvation

där matrisen är inverterbar finns det en unik lösning för varje och . Cramer's regel är en sats som framförallt underlättar att uttrycka lösningen då vi inte har siffror i matrisen .

Cramer's regel

Om är ett linjärt ekvationssystem med ekvationer och variabler så har systemet en unik lösning om, och endast om, , varpå lösningen kan uttryckas som