Egenvärden och egenvektorer

Innehållsförteckning

Hur används egenvektorer i praktiken?

Ansiktsdetekteringssystem används för att belysa skillnaderna mellan människors ansikten så att endast rätt person ges tillgång. Sådana program förlitar sig mycket på konceptet egenvektorer.

Det visar sig att mänskliga ansikten är linjärt beroende av kombinationer av vissa särskiljande egenskaper, såsom hårfärg, nässtorlek, avstånd mellan ögon och så vidare.

För att korrekt konstruera dessa funktioner behöver systemet många bilder på människor att lära sig av, men efter att det har beskrivit de viktiga aspekterna av ansikten kan en mycket mindre mängd specialbilder användas för att rekonstruera och jämföra någon av personerna.

Dessa speciella bilder kallas för egenansikten . Namnet kommer från det faktum att de i huvudsak är egenvektorer till en matris som innehåller information om ansiktsdragen som finns bland mängden givna bilder.

Motsvarande egenvärden ger ett mått på hur viktigt respektive egenansikte är för att skilja mellan olika personer.

Vad betyder en egenvektor?

Egenvektorer är associerade med en viss kvadratisk matris och ändrar inte riktning när de multipliceras med den matrisen. Vektorernas längd kan dock ändras och den skalas med dess motsvarande egenvärde .

En egenvektor är en vektor som inte ändrar riktning när den multipliceras med en viss matris, och dess egenvärde är den skalär som bestämmer dess längdförändring.

Vilken vektor som helst längs linjen anses vara en egenvektor till kvadratiska matrisen . Faktum är att den här linjen är ett delrum till och kan ha en högre dimension, och den kallas egenrummet för motsvarande egenvärde till matrisen .

Vad är den matematiska definitionen av en egenvektor?

Genom att multiplicera en vektor med en matris produceras en annan vektor. För vissa matchande matriser och vektorer är de två vektorerna desamma:

Detta är ett exempel på en egenvektor. Definitionen av en egenvektor är att vektorn inte kan ändra riktning när den multipliceras med . Dess längd kan dock ändras, så vi modifierar begreppet ovan genom att introducera skalären :

Denna ekvation anger egenvärdet , där vi strävar efter att hitta mängderna av vektorer och skalärer som uppfyller det. För att lösa detta problem skriver vi om ekvationen som:

För icke- triviala lösningar måste determinanten för vara noll, så att vi kan hitta egenvärdena genom att lösa följande ekvation för :

Med de egenvärdena är det lätt att hitta motsvarande mängd egenvektorer .

Vad är en egenvektor?

Egenvektorer och egenvärden brukar vara något av en tröskel för nybörjaren att ta sig över. Detta är synd eftersom att det inte är det mest komplicerade avsnittet inom linjär algebra, utan snarare brukar det vara vid detta avsnitt som bristerna hos nybörjarens nyvunna kunskaper uppdagas. Har nybörjaren fått god grundläggande förståelse från tidigare avsnitt ska vi ordna detta till en trevligt upplevelse.

Låt oss starta med definitionen av en fixpunkt.

Låt vara en -matris och vara en -dimensionell vektor. En fixpunkt till är varje värde för som uppfyller villkoret

Notera att fixpunkten står i relation till matrisen, enligt definitionen: "En fixpunkt till ...". Varje matris har minst en fixpunkt, nämligen , som kallas för den triviala fixpunkten. Vägen framåt att finna samtliga fixpunkter till är:

varpå sista raden är ett homogent linjärt ekvationssystem, något som ska vara enkelt för nybörjaren att lösa vid det här laget. Kom ihåg de tre utfallen: unik lösning, oändligt många lösningar och inga lösningar. Syr vi ihop med insikterna kring determinanten så leder detta till satsen

Låt vara en -matris. Då är följande tre påståenden fullständigt förenliga.

har icketriviala fixpunkter
är singulär

Nu är vi mogna för definitionen av en egenvektor, vilket är en relaxering av definitionen av en fixpunkt (relaxering innebär här att definitionen blir mindre sträng och mer öppensinnad).

Låt vara en -matris, vara en -dimensionell vektor och vara en skalär. För varje och som uppfyller

sägs då vara egenvektor och korresponderande dess egenvärde.

Kortfattat skulle man kunna översätta ovan till:
Egenvektor är den vektor som efter mulitplikation med matrisen behåller sin riktning. Egenvärdet är skalfaktorn som påverkar egenvektorns längd och orientering efter multiplikationen.

Vad är ett egenvärde?

Ett egenvärde till en -matris är den skalfaktorn som hör ihop med respektive egenvektor, eller egenvektorer, och uppfyller följande

En praktisk beskrivning är att en egenvektor är den vektor som inte byter riktning vid multiplikation med matrisen , och egenvärde är dess skalfaktor som justerar längden. För en djupare introduktion hänvisas nybörjaren till attt läsa om egenvektor. Följande sats är nyttig att både förstå och kunna

Om är en matris och är en skalar, så gäller det att följande påståenden är helt förenliga.

är en lösning till ekvationen
är ett egenvärde till
det linjära systemet har icketriviala lösningar.

Hur löser man en karaktäristisk ekvation?

För att lösa ut egenvektorer och egenvärden till en -matris görs följande:

Sista raden har en okänd inbakad i matrisen , nämligen , varför vår vanliga lösningsmetod med Gauss-Jordan blir knepig. Vi tar därför till våra insikter kring determinanten - vi söker ju icketriviala lösningar till ovan system, vilket kräver att determinanten av är 0. Skulle den vara nollskild hade det inneburit att system haft en unik lösning, vilket då skulle vara just den triviala lösningen . Därför väljer vi att anta att det finns icketriviala lösningar och därmed ska determinanten vara 0.

Ovan ekvation kallas för den karaktäristiska ekvationen och vi kan enkelt lösa den för värden på . Vi visar ett exempel för en -matris. Låt

Då har vi att

Där sista raden kallas för matrisens karatäristiska polynom. Vi ser enkelt att vår har en dubbelrot på samt en enkelrot på och vi har därmed två egenvärden, och .
För att finna de korresponderade egenvektorerna till vardera egenvärde sätter vi in egenvärdena en i taget i ekvationen

Vi börjar med första egenvärdet.

Vi får direkt en nollrad men gör en elementär radoperation innan vi sätter in parametrar.

Nu har vi två nollrader. Kom ihåg att minst en nollrad är väntat, eftersom att vårt grundantagande är att determinanten är noll. Vi sätter in två parametrar.

och därmed har vi ett lösningsrum som är ett plan, nämligen

Eftersom att lösningsrummet, även kallat egenrummet, är ett plan söker vi efter två egenvektorer. Vi väljer den första egenvektorn med och den andra egenvektorn med . Alla värden för och fungerar bra så länge och inte blir parallella. Vi får att

Vi fortsätter med andra egenvärdet och får att

Vi får omedelbart en nollrad! vi introducerar en parameter och fortsätter att lösa med Gauss-Jordan

Lösningsrummet är alltså en linje:

Vi väljer och har den tredje egenvektorn.

Vilket avslutar svaret, men vi sammanfattar samtliga egenvärden och egenvektorer här:

Vad är ett egenrum?

Låt vara definierad som

med motsvarande egenvärden och egenvektorer

Om är ett egenvärde till betyder det att följande ekvation har icketriviala lösningar som lösningsrum

vilket vi kallar för egenrum till för korresponderande egenvärde. Dessa egenrum har vi tagit fram i steget innan vi valde ut egenvektorer, så här visar vi hur vi definierar egenrummen då vi har egenvektorerna givna. Eftersom att vi har två egenvärden har vi två egenrum (antalet egenvärden = antalet egenrum) och noterar dessa likt vi har gjort tidigare för vanliga lösningsrum:

Detta leder oss till att introducera två ytterligare definitioner, algebraisk multplicitet samt geometrisk multiplicitet.

Låt matrisen ha egenvärden som har räknats fram från dess karäktaristiska polynom . Då gäller att

Algebraiska multipliciteten för motsvarar dess grad av rot till . Till exempel, om graden är två för så är det en dubbelrot till . Det har därför algebraisk multiplicitet .
Geometriska multipliciteten för motsvarar dimensionen till dess egenrum, det vill säga lösningsrummet till . Till exempel, om lösningsrummet för är ett plan så har egenrummet två dimensioner och därmed är dess geometriska multiplicitet .
För varje gäller att geometriska multipliciteten är mindre eller lika med dess algebraiska multiplicitet.