Intro
En datortomografi är ett medicinskt bildsystem som skjuter röntgenstrålar genom en kropp från många olika vinklar.
Utifrån dessa röntgenbilder kan vi konstruera en bild av hur kroppen ser ut på insidan. Men har du någonsin undrat hur bilden egentligen är uppbyggd?
Svaret är givetvis med matematik, speciellt med den så kallade Radon-transform . Radon-transform är en typ av integrerad transformation , som är en allmän linjär transformation .
Koncept
Titta på följande två funktioner:
som både tar reella tal som indata och producerar, som utdata, nya reella tal längs räta linjer med lutningar på , som skär y-axeln vid respektive .
Men bara en av funktionerna är faktiskt linjär .
För att en funktion ska kvalificera sig som linjär måste den uppfylla två egenskaper:
Additivitet:
Homogenitet:
där är vilken skalär som helst.
Detta gäller för , men inte för , som vi kommer att se senare.
Allmänna linjära transformationer måste uppfylla samma två egenskaper, bara att de istället för reella tal är funktioner från ett vektorrum till ett annat.
Summering
Låt och med
Nu är både additiv och homogen:
Vidare kan vi visa att varken är additiv eller homogen med ett enkelt exempel. Låt , sedan:
Följaktligen är linjär medan inte är det.
Vi måste gå igenom samma process för att avgöra om en transformation , där och är vektorrum, är en linjär transformation eller inte.
Allmänna linjära avbildningar
Introduktion
Efter att ha relaxerat konceptet vektorrum är vi redo för en liknande generalisering av linjära avbildningar. Denna föreläsningsanteckning är vanligtvis lättare för studenter att smälta, eftersom det mentala språnget redan har tagits för allmänna vektorrum. Därför dyker vi direkt igenom följande definition av linjära avbildningar:
Definitionen
Låt
vara en funktion från ett vektorrum till ett vektorrum , då kallas för en linjär avbildning från till , om följande två egenskaper är uppfyllda för samtliga vektorer och för alla skalärer :
, \quad (homogenitet)
, \quad (additivitet)
För specalfallet när de två vektorrummen är samma, alltså , kallas för en linjär operator på vektorrummet .
Följaktligen har vi de tre följande resultaten för en linjär avbildning :
Innan vi fortsätter, låt oss ta en titt på definitionerna för kärna respektive bild (eller värdemängd):
Låt vara en linjär avbildning. Vi har då två mängder av vektorer, kallat för kärnan respektive bilden till , och vi definierar dem som:
Kärnan är mängden av vektorer i som avbildar på , och vi betecknar det som .
Bilden, eller värdemängden, är mängden av vektorer i som avbildats från minst en vektor i , och vi betecknar det som .
Tre satser
Tree användbara satser listas här. De kan användas för att lösa problem eller för att bevisa andra satser.
Om är en linjär avbildning, så avbildar underrum till till underrum till .
Om är en linjär avbildning, så är ett delrum till och är ett delrum till .
Om är en linjär avbildning, så är följande ekvivalent:
is one-to-one
Vi besöker nu fem exempel på linjära avbildningar, nämligen nollavbildningen, identitetsavbildningen, evalueringsavbildningen, differentialavbildningen och integralavbildningen.
Nollavbildningen
Låt och båda vara vektorrum och låt oss betrakta avbildningen:
där
vilket betyder att varje vektor i avbildas till nollvektorn . Denna avbildningen är de facto linjär, eftersom vi har att för varje skalär :
Identitetsavbildningen
Låt och båda vara vektorrum och låt oss betrakta avbildningen:
där
vilket betyder att varje vektor i avbildas till sig själv. Denna avbildningen är linjär, eftersom att vi har för varje skalär :
Evalueringsavbildningen
Låt vara ett delrum till vektorrummet och betrakta följande sekvens av distinkt reella tal:
Vi har följande avbildning som associerar med en -tupel av funktionsvärden av ovan sekvens:
där
Vi kallar detta för evalueringsavbildningen på för
Om vi till exempel har att
och vi låter
så har vi att:
Evalueringsavbildningen är linjär, eftersom vi har för varje skalär :
Differentialavbildningen
Låt vara vektorrummet för reella funktioner med kontinuerlig förstaderivata på . I tillägg, låt vara vektorrummet av kontinuerligt reella funktioner på . Låt oss nu betrakta följande linjära avbildning,
vilket är avbildningen som avbildar funktionen på sin förstaderivata.
Denna avbildning är linjär, eftersom vi har för varje skalär följande differentieringsregler från analysen (ej bevisat här):
Vi kan generalisera denna avbildning genom att introducera , den k:te derivatan av , och vektorrummet . Då har vi att
där är samma vektorrum som förut och
Integralavbildningen
Låt
vara vektorrummet för kontinuerliga funktioner på . I tillägg, låt
vara ett vektorrum av funktioner med kontinuerlig förstaderivata på . Låt oss nu betrakta följande linjära avbildning,
vilket är avbildningen som avbildar en funktion till integralen:
Denna avbildning är linjär, eftersom vi har att för varje skalär följande integreringsregler från analysen (ej bevisat här):
Isomorfism
Introduction
Isomorfism är ett återkommande begrepp inom matematiken, och beroende på område i matematiken är det känt under specialiserade namn, såsom isometri för metriska rum, homeomorfism för topologiska rum, diffeomorfism för differentierbara mångfald och automorfism för permutationer av en mängd. Det är inte nödvändigt att förstå alla dessa begrepp för en kurs i linjär algebra, men studenter som blir inspirerade att studera högre kurser i matematik kommer att bekanta sig med en eller flera av dessa. Matematik är en verkligen vackert, som en vetenskapskonst.
Definition
Så låt oss komma till saken och definiera isomorfism:
Låt oss säga att vi har en linjär avbildning , och de två vektorrummen och , så att
vilken är bijektiv (varje vektor avbildas till en unik vektor i , på engelska one-to-one) och surjektiv (alla vektorer är avbildade till från minst en vektor i under , på engelska onto). Vi kallar då en isomorfism, och vi säger att vektorrummet är isomorfisk med vektorrummet .
De flesta av våra satser har fokuserats på det reella vektorrummet , vilket kan tyckas begränsat för den sanna abstrakta tänkaren. Faktum är att alla dessa satser fortfarande är giltiga tack vare en vacker sats med ett enkelt bevis. Satsen säger att alla n-dimensionella vektorrum är isomorfa till . Innan vi anger satsen och visar bevisen kommer vi att doppa tårna i detta vatten genom att bygga upp någon slags intuition för det angivna problemet. Låt oss jämföra polynomrummet med det reella vektorrummet . Vi har då att varje polynom kan uttryckas unikt på formen:
och kan därför representeras unikt av dess n-tupel av koefficienter:
Således har vi en trivial avbildning så att:
Eftersom varje möjlig kombination av koefficienter
kan trivialt relateras till varje vektor i har vi att är bijektiv och surjektiv från till . Vi har alltså att är linjär, eftersom att vi har för varje polynom och :
och för varje skalär att:
Så vi har visat att är en linjär transformation från till , och motiverat varför den är bijektiv och surjektiv. Därför är en isomorfism, och efter denna tå-dip är vi nu redo för följande vackra sats, med åtföljande enkla bevis:
Varje reellt -dimensionellt vektorrum är isomorfisk till
Låt vara ett verkligt -dimensionellt vektorrum. Vi bevisar att är isomorf till genom att hitta en linjär avbildning
vilken är bijektiv och surjektiv. Vi börjar med att definiera en bas för :
Detta innebär att vi för varje vektor har en unik linjärkombination så att:
där är koordinater till med avseende på basen . Vi definierar nu avbildningen :
så att vi har att:
Naturligtvis är denna transformation inte slumpmässigt vald. Vi har en intuition för att det ska uppfylla kraven för en isomorfism. För att visa detta måste vi bevisa att är linjär, bijektiv och surjektiv. Vi visar dessa tre en i taget. Vi börjar med att visa linjäritet:
Linjäritet (1/3)
Låt och vara vektorer i så att
och låt vara en skalär. Vi visar de två egenskaperna för linjäritet:
Bijektiv (2/3)
Vi ska nu visa att är bijektiv, det vill säga entydig, vilket vi gör genom att visa att om och är distinkta vektorer, så måste deras avbildningar vara det med under . Eftersom:
vilket visar att och har distinkta avbildningar under .
Surjektiv (3/3)
Slutligen visar vi att är surjektiv genom att anta att tillhör med komponenterna:
vilket måste vara en avbildning under av en vektor så att:
Detta konkluderar beviset.
