Intro
Röda bilar är överrepresenterade i statistiken över trafikolyckor, men varför är inte försäkringskostnaden för röda bilar högre än för annanfärgade bilar av samma modell?
När man gräver lite djupare finner vi att det inte är färgen röd i sig som är en riskfaktor på vägarna, utan färgen är kopplad till andra egenskaper som är det.
Rött är en vanlig färg för sportbilar, som tenderar att ha kraftfulla motorer och manliga förare. De tenderar också att ha ett högt pris.
Kostnaden för försäkringen är linjärt beroende av bilens värde och krockrisken, det vill säga om dessa går upp så ökar försäkringsavgiften med ett proportionellt belopp.
Sannolikheten för att en bil har röd färg och dess försäkringskostnad beror på samma parametrar, men påverkar inte varandra direkt.
Koncept
Låt oss säga att en mängd vektorer ges till dig och din uppgift är att bilda en väg som börjar och slutar vid origo till ett koordinatsystem genom att placera vektorer efter varandra.
Du kan använda valfritt antal vektorer från mängden, men bara samma en gång, och när du använder en vektor kan du sträcka, klämma och vända den, men inte ändra dess riktning på något annat sätt.
Om detta är möjligt sägs mängden av vektorer du fick vara linjärt beroende . Om du däremot, varje gång du försöker ordna vektorerna för att ta dig tillbaka till origo, går i en riktning som du inte kan återvända från, är de linjärt oberoende .
Mängden kommer alltid att vara linjärt beroende om antalet vektorer är större än deras dimension.
Summering
Om mängden vektorer
är linjärt oberoende, då kan ingen av vektorerna uttryckas som en linjärkombination av de andra.
Det betyder att vektorekvationen
har bara den triviala lösningen:
Vi kan kontrollera om så är fallet genom att ordna vektorerna som kolumner i en matris A.
Genom att lösa matrisekvationen:
då kommer det antingen att avslöja en beroenderelation för vektorerna eller verifiera deras oberoende.
Linjär kombination
Ett generellt uttryck för linjärkombination är
det vill säga en summa av en rad vektorer med varsin skalär . Två exempel är parameterformerna för linjen och planet i för
andra exempel är
Linjärt beroende
Linjärt beroende betyder att en samling vektorer kan uttryckas med hjälp av varandra i en linjärkombination. I avsnittet om linjens ekvation och planets ekvation skriver vi om deras parameterformer och . Generaliseras dessa uttryck får vi att en vektor i kan uttryckas som
där är vektorer i . kallas då för en linjärkombination, och är linjärt beroende av, -vektorerna. Betraktar man alla sådana vektorer som en samling kallas de för ett delrum av .
Ekvationen ovan kan ställas upp som ett system av linjära ekvationer
och därefter lösa med Gauss-Jordan. Finns en unik lösning betyder det att kan uttryckas som en linjärkombination av -vektorerna och därmed är samlingen vektorer av och linjärt beroende. Om ingen sådan lösning för finns så är vektorerna linjärt oberoende. Notera att om är linjärt beroende av så är även till exempel linjärt beroende av och . Detta leder oss till den formella definitionen
En icketom mängd av vektorer i sägs vara linjärt oberoende om de enda skalärarna som löser ekvationen
är , det vill säga den triviala lösningen. Om det finns någon nollskild skalär som löser ekvationen sägs samlingen av vektorer vara linjärt beroende.
En slutsats är att varje mängd vektorer med fler än vektorer i är alltid linjärt beroende. Anledningen är att man då får fler ekvationer än variabler vilket kommer med radrecudering leda till minst en nollrad.
