Intro
Att åka rutschkana är roligt, och ju snabbare desto bättre! Hur väljer vi den bästa formen på en rutschbana mellan två bestämda start- och slutpunkter för att ta oss ner så snabbt som möjligt?
Om vi antar att ingen friktion och luftmotstånd påverkar rörelsen, kan det bevisas att den optimala formen kommer att följa brachistochrone-kurvan , vilket bokstavligen betyder kurvan för kortast tid .
Utseendet på kurvan kan vara överraskande, eftersom den kan hamna en bit under slutpunkten innan den går tillbaka upp igen.
Det kan dock bevisas att kurvan, som är en funktion, erhålls genom att minimera en integral beroende på hur lång tid det tar för gravitationen att ta en massa från början till slut.
Beräkningen använder vissa integrationstekniker som vi är på väg att utforska.
Koncept
Nåväl, låt oss vara ärliga. Att hitta en primitiv funktion är svårt. Naturligtvis, om du har något som, säg, , då är en primitiv funktion . Men i den verkliga världen är dessa typiska läroboksexempelfunktioner inte så vanliga.
Lyckligtvis finns det några hack för att hitta primitiva funktioner. Dessa hack kommer att tillåta oss att hantera mycket rörigare funktioner.
Summering
Variabelbyte
Integralen:
blir lättare om vi utför följande ändring av variabler:
Sedan förvandlas våra integraler till:
Partiell integration
Denna teknik används för att hitta integralen av produkter av funktioner. Ett exempel är:
Formeln för partiell integration är:
I vårt exempel, låt:
Sedan, enligt formeln:
Variabelbyte
Introduktion
Integration är ett hantverk. Vissa vändningar kan du behöva tatuera på insidan av dina ögonlock, medan andra kräver att du utvecklar lite intuition. Som tur är finns det riktlinjer även i intuitionsdjungeln. Vi är här för att ge dig lianen när du kastar dig ut i vildmarken.
Det här avsnittet ägnas åt några mycket praktiska knep och metoder som du behöver där ute. Den första är en mångsidig best som kallas variabelbyte .
Variabelbyte flyttar integralen till ett annat koordinatsystem där det ser enklare ut. Vi vill omvandla det så att integralen blir så enkel som möjligt att lösa. Sedan löser vi det i dess förtäckta form, och efteråt går vi tillbaka till systemet vi började med.
Variabelbyte flyttar hela integralen till ett utrymme där det ser enklare ut att lösa
Hur man gör variabelbyte
Nog pratat, låt oss göra det. Variabelbyte bygger på kedjeregeln. Satsen kan se lite skrämmande ut till en början, men när du kommer ner till exemplen, jämför den med satsen för att få en känsla för den.
Variabelbyte
Låt g och g' vara kontinuerliga på [a, b] och f vara kontinuerliga på [g(a), g(b)]. Sedan \\
Kedjeregeln säger att:
Att integrera båda sidor ger:
När vi nu transformerar vänster sida får vi:
Vilket avslutar ärendet.
Ta en titt på satsen. Det står: du kan ersätta med någon funktion i integranden, så länge du passar på att lägga till och ändra gränsvärden. Jag upprepar, glöm inte att ändra gränsvärdena i enlighet med detta när du byter ut.
Oroa dig inte om du är förvirrad vid det här laget. Vi ska visa några exempel nu.
Exempel 1
Problem :
Lösning :
Här identifierar vi integranden som något av formen som vi vill förenkla.
För att göra detta låter vi introducera . Detta är variabelbyten. Vi kallar den nya variabeln för att inte förväxla oss med vilket utrymme vi befinner oss i.
Med definierad på detta sätt tar vi derivatan med avseende på :
Något handvågigt flyttar vi nu till andra sidan och får:
Det betyder att vi kan ersätta i integranden med
Således integrand och differentiell transformation med :
Hej, det är riktigt snyggt! I allmänhet vill vi välja substitution på detta sätt, så att termer eliminerar varandra när vi kopplar in substitutionen i integralen.
Men! Har vi inte glömt något?
Japp, vi glömde gränsvärden. Inställning ger , och likaså om då .
Slutligen ger substitutionen:
Exempel 2
Problem :
Lösning :
Vi kan använda följande substitution för att lösa integralen:
integralgränserna är då och , integralen blir då:
utvärdera vid gränserna vi får:
Exempel 3
Problem :
Lösning :
Vi kan använda följande substitution för att lösa integralen:
Observera att det inte finns några integralgränser, så integralen blir helt enkelt:
genom att ersätta får vi:
Trigonometriska variabelbyten
Trigonometriska substitutioner är en underkategori av variabelbyten där vi antingen ersätter en variabel med ett trigonometriskt uttryck, eller vice versa.
Vi kommer att gå igenom tre vanliga fall där denna typ av ersättningar är vår räddare.
Ersätter eller
Låt oss säga att vi står inför en integral som denna:
Om antingen eller är ett udda heltal, använder vi trigonometrisk substitution. Vi har . Således, om med (något heltal), kan vi skriva om integralen som:
Att sedan låta göra susen. Observera att försvinner eftersom .
Om istället är udda kan vi på samma sätt använda .
Exempel
Låt oss beräkna integralen:
Först, skriv om:
Sedan kan vår integral skrivas om som:
Utför nu följande ändring av variabler:
detta förvandlar vår integral till:
En användbar trigonometrisk identitet
Säg att vi har:
Sen då? Vi kan inte använda det sista tricket eftersom är jämnt. Men en snygg trigonometrisk identitet som du kanske känner till kommer att göra susen.
Genom att använda blandar vi runt lite. Detta ger oss:
Detta är bra, eftersom inte är svårt att integrera.
På liknande sätt, ersättning med ger
Det rekommenderas starkt att memorera antingen differentieringstekniken eller uttrycken ovan, eftersom de tenderar att dyka upp överallt.
Exempel
Låt oss nu utvärdera integralen:
I det första steget, med hjälp av formeln för dubbelvinkeln, kan vi ta bort potensen från , så här:
Nu blir vår integral:
Inversa trigonometriska substitutioner
Det finns tre fall där inversa trigonometriska substitutioner är bra: integraler med eller .
Fall 1
Om integralen innehåller , , använd .
Observera att detta bara är vettigt om . När vi gör bytet får vi:
Om vi behöver de andra trigonometriska funktionerna för , kan vi härleda dem från en rätvinklig triangel som motsvarar den gjorda substitutionen.
Detta ger:
och
Fall 2
Om integralen innehåller eller , med , använder vi .
De andra trigonometriska funktionerna för ges av en liknande triangel som i det första fallet:
Så:
och:
Fall 3
Om integralen innehåller där , kan vi använda .
Denna substitution kräver lite extra försiktighet. Även om:
vi kan inte alltid ta bort det absoluta värdet från tangenten. De andra fallen ovan har inga sådana varningsskyltar som blinkar över sig.
Observera dock att är reell om eller .
Om , då:
och .
Om , då
och .
Det första fallet ger , det andra .
Jag vet, det var mycket. Men ta några andetag och tänk efter en sekund, titta tillbaka på de trigonometriska funktionerna och vilka ersättningar vi gjorde.
Exempel
I det här sista exemplet kommer vi att utvärdera integralen
Vi kan känna lukten av en trigonometrisk substitution med antingen eller , på grund av parentesen i nämnaren, nämligen:
Möjligheten vi ser är att vi kan, för några konstanta , göra en substitution så att:
Första gången du ser det här verkar det förmodligen långsökt, men det här är ett snyggt knep som du lätt lär dig hitta efter lite träning.
Så vi utför följande förändring av variabler
Då blir vår integral
När vi ser tillbaka på den första triangeln blir vårt svar
Partiell integration
När vi lärde oss om derivator såg vi att produkter av funktioner komplicerar saker lite, och vi måste vända oss till produktregeln när vi differentierar.
Detsamma gäller för integration. För att integrera en produkt av två funktioner kallas metoden vi ofta kan använda för partiell integration. Faktum är att denna teknik kan ses som det omvända förfarandet av produktregeln för differentiering.
Låt och vara två differentierbara funktioner. Då har vi:
Om vi nu integrerar båda sidor med avseende på får vi:
som vi kan ordna om som:
Den här formeln är basen för metoden partiella integrationen , ofta skriven så här:
eller i en kondenserad för som:
När vi står inför en integral av en produkt av två funktioner, föreställer vi oss integranden som produkten av och i den vänstra integralen. Vi kan sedan lösa det genom att utvärdera uttrycket på höger sida.
Att välja och
Även om integranden fortfarande består av en produkt av funktioner, kan vi ofta välja och på ett smart sätt för att göra integrationsprocessen enkel:
Givet följande integral:
vi väljer att representera en av funktionerna med , och den andra tillsammans med med . Till exempel och . Här vill vi att ska ha enkla antiderivator, eftersom vi först måste integrera det för att få , och sedan en gång till enligt formeln.
Det finns två tumregler angående valet av och , som kan vara till hjälp för att göra integrationen så smärtfri som möjligt:
Om är ett polynom och en exponential-, sinus- eller cosinusfunktion, låt och .
Om är en logaritmisk, eller en invers trigonometrisk funktion, låt och .
Kom alltid ihåg att och är tvetydiga, och du är fri att algebraiskt ordna om integranden och definiera de två funktionerna som de passar dig.
I vissa fall räcker det inte med en tillämpning av partiell integration , och vi kan bli tvungna att tillämpa den flera gånger i serie innan integralen löses.
Exempel 1
För att illustrera denna teknik kommer vi att beräkna:
Kom ihåg formeln för partiella integrationen :
Vår integral är en produkt av en exponential och ett polynom, så låt:
Då får vi:
Exempel 2
I det här exemplet vill vi beräkna:
Detta är en produkt av ett polynom och en trigonometrisk funktion. Låt oss använda formeln för partiell integration:
låta
Använd nu detta för att lösa integralen med partiell integration:
I den sista termen har vi en integral av ett polynom gånger en trigonometrisk funktion, så vi måste använda partiell integration en gång till:
Slutligen är vår lösning:
Partialbråksuppdelning
I vissa fall kanske du vill integrera en funktion som , där både och är polynom.
Det finns ett standardiserat förfarande för att ta itu med den här typen av problem. Sanningen att säga är det ganska tråkigt att integrera den här typen av funktioner.
Förenkla genom att använda polynomdivision. Det skulle vara trevligt att reducera det hela till ett polynom.
Faktorisera nämnaren, om möjligt. Detta underlättar nästa steg.
Partialbråksuppdelning. Det betyder att man skriver det ursprungliga bråk som summan av ett gäng partialbråken.
Integrera varje partialbråk.
När det gäller partialbråksuppdelning, här är några vanliga riktlinjer:
Om du har en faktor som i nämnaren, börjar du med partialbråket .
Låt oss höja svårighetsgraden. Om nämnaren har en faktor , börjar du med de partialbråken och .
Den här gången har nämnaren faktorer som . Sedan börjar du med partialbråket .
Du kommer att se vad vi menar om ett ögonblick, när vi går igenom några exempel.
Exempel 1
För att se hur man använder partiell integration, överväg integralen:
Först vill vi förenkla funktionen inuti integralen:
Därefter vill vi hitta konstanterna och så att vi kan skriva de bråken som:
När vi jämför båda sidor av ekvationen ser vi att och måste uppfylla:
När vi löser detta ekvationssystem för och får vi:
Nu kan vi transformera vår integral enligt följande:
Exempel 2
I det här exemplet vill vi utvärdera integralen:
med hjälp av partialbråken. Denna bråk kan förenklas som:
När vi jämför båda sidor av ekvationen ser vi att konstanterna , och måste uppfylla:
När vi löser detta får vi:
Nu kan vi transformera ut integralen enligt följande:
