Derivator

När du sitter på ett flyg slås du av hur snabba flygplan är, eller hur? Faktum är att stewarden säger att du rör dig i ungefär km/h.

Men uppenbarligen går inte planet framåt med konstant hastighet. Om det blåser en stark vind kan du gå framåt med km/h.

Derivatan, betecknad med denna roliga symbol , låter oss hitta hastigheten vid en given tidpunkt. Så om är din position som en funktion av tiden, då är din hastighet.

Och eftersom du rör dig så snabbt förändras din position mycket på ett kort tidsintervall. Detta betyder att är enorm.

Sättet vi går tillväga för att hitta derivatan påminner faktiskt om hur vi beräknar hastighet.

För att beräkna hastigheten fokuserar vi vår uppmärksamhet på ett litet tidsintervall . Hastigheten är alltså helt enkelt avståndet dividerat med tiden,

Vad sägs om derivatan?

Du kanske faktiskt tänker på derivatan som funktionsvärdet för hastigheten , den hastighet med vilken funktionsvärdet ändras.

Föreställ dig att du står på -axeln och sedan tar ett litet steg till höger. Vi kallar steget . Detta orsakar en förändring av funktionsvärdet, som blir . Förändringen i funktionsvärdet är:

Men det skulle inte vara vettigt att bara mäta värdet , eftersom det beror på storleken på . För att ta hänsyn till storleken på , låt oss dividera med .

Om är liten så är också det, men det kompenseras av divisionen med .

Denna sak beskriver förändringshastigheten inom ett litet intervall, från till . Det är vår

Vi vill dock beräkna förändringshastigheten vid en viss punkt, inte inom ett intervall.

Förutsatt att definieras på ett intervall runt , är derivatan av i punkten

och skrivs som .

Ett ord av varning. Kom ihåg att är ett vanligt tal, inte . Det är därför beräkningen ovan fungerar.

Att differentiera en funktion vid en punkt är att hitta derivatan, eller lutningen, av funktionen vid den punkten.

Vad vi skulle vilja göra är att definiera en funktion som avbildning varje punkt i definitionsmängden för till dess derivata. Vi kallar för derivatan av .

Detta är inte alltid möjligt, eftersom en funktion kanske inte har en lutning vid varje punkt. När detta händer finns inte derivatan , och vi säger att funktionen inte är differentierbar .

Ta en titt på dessa två kurvor:

1.

2.

De delar sin allmänna form, men medan den första är differentierbar i toppen, är den andra inte det.

Kom ihåg definitionen av derivatan:

För att denna gränsvärde, och därmed derivatan, ska existera vid en punkt , måste gränsvärdet för derivatan vara densamma som närmar sig från både ovan och under:

Nu när vi förstår vad det betyder att en funktion är differentierbar vid en punkt , låt oss titta på vad som gör en funktion differentierbar i allmänhet:

För att förbättra vår förståelse av differentiabilitet, låt oss vända oss till några exempel på realvärda funktioner:

Titta först på:

Oavsett vilken punkt vi tittar på kan vi hitta derivatan av funktionen, så detta är ett exempel på en differentierbar funktion.

Som ett exempel på en icke-differentierbar funktion, ta en titt på den här:

Funktionen kan också definieras bitvis som:

Om vi tar gränsvärdet för när närmar sig från ovan, får vi , lutningen på den högra linjen.

På liknande sätt, genom att ta gränsvärdet för när närmar sig underifrån, får vi , lutningen på den vänstra linjen.

Sedan:

vi drar slutsatsen att derivatan inte existerar vid . Denna ena punkt räcker för att göra en icke-differentieringsbar funktion.

Som en avslutande anmärkning är differentiabilitet kopplat till kontinuitet på det sättet att om en funktion inte är kontinuerlig på ett intervall, kommer den inte att vara differentierbar på det intervallet.

Det motsatta är dock inte alltid sant. Som vi såg i exemplet med , kan en funktion vara kontinuerlig på hela sin definitionsmängd men ändå icke-differentieringsbar.

Om en funktion är differentierbar, kommer dess derivata att vara en annan funktion . Vem säger nu att vi inte kan ta derivatan av ?

Så länge som också är differentierbar, kan vi ta derivatan för att producera , känd som andraderivatan av .

Om vi låter vara positionen för ett flygplan som funktion av tiden, kommer dess derivata att vara flygplanets hastighet när som helst.

Nu derivatan av , som är derivatan av hastighetsfunktionen och andraderivatan av positionsfunktionen, en funktion av flygplanets acceleration.

Derivatan kan hittas för vilken differentierbar funktion som helst, så det finns ingen gränsvärde för hur många derivator vi kan ta så länge differentieringsegenskapen består.

Det finns dock ett gränsvärde för hur många primtalssymboler vi sätter efter , om är den funktion vi särskiljer.

Den Tredjederivatan betecknas vanligtvis som men för alla derivator av högre ordning än så börjar vi använda ordningsnumret, satt inom parentes.

Därför blir derivata av , den femte blir , och så vidare.

Säg att du vill göra en mental beräkning av . Lite svårt, va?

Men med hjälp av matematisk analys kan vi hitta en rimlig approximation.

Ta en stund att tänka på grafen för .

Vi vet att . Sedan tar vi ett litet steg, , i -riktningen. Detta medför en förändring i -riktningen.

För -värden nära skulle vi kunna uppskatta genom att dra en rät linje genom punkten , som är punkten , med samma lutning som .

Denna typ av linje, som bara vidrör funktionsgrafen vid en given punkt, kallas en tangentlinje .

Hur kan vi hitta tangentlinjen?

Det generiska receptet för en linje är

där är lutningen och är någon konstant.

Om linjens lutning ska vara i linje med grafens lutning, måste vara lika med derivatan av vid .

Låt oss gå vidare och beräkna . Derivatan av råkar vara och . Det betyder att .

Dessutom vill vi att vår linje ska vidröra i punkten . Om vi kopplar in och i vårt recept för en rak linje får vi:

Det betyder att .

Med tanke på att är nära . Att utvärdera i ger en bra uppskattning av . Således:

Min kalkylator säger att , så vi klarade oss ganska bra.

Detta hack är känt som linjär approximation .

När vi pratar om derivatan fortsätter vi att nämna små förändringar. När ändras lite, vad händer med ?

Hur fluffigt det än låter så finns det faktiskt matematisk notation för att beskriva oändliga förändringar i en kvantitet. Vi kallar dem differentialer.

Den rigorösa definitionen ligger begravd under en stor teorihög långt utanför vår räckvidd. Men lyckligtvis är den informella definitionen nästan alltid tillräckligt bra.

Differentialen för en variabel betecknas och den kan definieras informellt enligt följande:

är en liten förändring i , till och med mindre än något reellt tal.

Det största problemet med denna definition är att reella tal kan vara godtyckligt små, vilket gör det tveksamt om skillnader finns eller inte. Ändå visar det sig vara extremt användbart att bara acceptera dem som en riktigt liten förändring.

Analogt, om vår variabel är tid, betecknad , då skulle differentialen vara . Detta hänvisar till ett mycket litet tidsintervall. Vi kan också använda det för funktioner: givet en funktion , skulle motsvarande differential vara .

Om man konfronteras med en ekvation som innehåller differentialer, kan man behandla differentialen som en vanlig variabel. Till exempel kan vi addera, multiplicera och dividera med differentialer.

Hittills, givet en funktion , har vi hänvisat till dess derivata som . Leibniz notation introducerar ett nytt sätt att skriva derivator.

Låt . Sedan är den lilla förändringen i , eftersom ändras med en liten mängd .

Skrivet med Leibniz notation är derivatan av :

Som med definitionen av derivatan med gränsvärden, menar vi inte att dividera med , bara att jämföra dem.

Observera att detta bara är ett nytt sätt att skriva. Så:

Men varför vill vi detta?

Jo, Leibniz notation gör det möjligt att skilja från . Det kan verka tvivelaktigt, men det kommer att visa sig vara otroligt användbart för att lösa vissa typer av ekvationer.