Tillämpningar och generaliserade integraler

Föreställ dig att vi slår på en kran och aldrig stänger av den igen. Vattenflödet ur kranen, mätt i någon volymenhet per tidsenhet, kan anges som en funktion.

I det här fallet låter vi flödet beskrivas med:

Saken här är att efter en oändlig tid kommer vi inte att ha en oändlig mängd vatten som har kommit ut ur kranen. Och här är varför.

Med ett litet tidsintervall har mängden vatten runnit ut ur kranen. Om vi summerar alla dessa små mängder över det oändliga tidsintervallet får vi integralen:

Om vi låter den här kranen gå för alltid skulle vi bara få 1 enhet vatten!

Kom ihåg formen av en bestämd integral:

där och är gränsvärdena för integrationen, och är en integrerbar funktion på intervallet .

Nu är ett öppet intervall, och den bestämda integralen kommer att beräkna arean under kurvan för från till . Borde vi inte behöva inkludera punkterna och ? Inte nödvändigtvis, men vi måste vara försiktiga, eftersom slutpunkterna kan göra det till en generaliserad integral .

Integraler som uppfyller det första villkoret anses allmänt vara generaliserade integraler av typ 1 . På samma sätt kallas de som uppfyller den andra generaliserade integraler av typ 2 .

Det kan till en början verka kontraintuitivt, eftersom generaliserade integraler alltid innehåller oändligheter, att arean som beräknas av denna typ av integraler ibland kan vara ett ändligt tal. Om det är så säger vi att integralen konvergerar .

Å andra sidan, om arean under kurvan som erhålls av integralen går till positiv eller negativ oändlighet, säger vi att den divergerar .

Termen konvergens är inte unik för generaliserade integraler, som vi kommer att se i kommande kapitel, men varhelst den förekommer används den för att beskriva en kvantitet som tenderar att närma sig något värde.

I fallet med generaliserade integraler är denna kvantitet arean under kurvan. I motsats till konvergens betyder divergens att växa eller krympa utan begränsning.

Med tanke på att vi är intresserade av huruvida en generaliserad integral närmar sig något ändligt värde eller inte, borde det inte komma som någon överraskning att sättet vi utvärderar det kommer att vara genom gränsvärden:

Säg att följande integral är felaktig:

Låt oss titta på hur vi skulle behandla det beroende på vad som gör det olämpligt.

Typ 1

Om , då:

Om , då:

Typ 2

Om som , då:

Om som , då:

Om gränsvärdet vi likställer den gneraliserade integralen med existerar som ett ändligt tal, säger vi att den konvergerar till det talet. Annars säger vi att det skiljer sig åt.

I det fall att gränsvärdet tenderar mot säger vi att den gneraliserade integralen divergerar till positiv eller negativ oändlighet.

Som en alternativ metod för att beräkna gränsvärden kan vi i vissa fall använda -testet för att avgöra om en generaliserad integral konvergerar eller divergerar.

Därför, om vi vet att konvergerar, måste nödvändigtvis också göra det. På liknande sätt, om divergerar, kommer att divergera.

Nu visar det sig att följande är sant om generaliserade integraler av potenser av :

Till exempel verkar det rimligt när man tittar på bilden nedan att konvergerar när det integreras runt , men inte från några till oändligheten:

Omvänt, om man tittar på nedan, kan det vara rimligt att integrera från några till oändligheten, får vi en fin konvergens, medan integration runt resulterar i divergens.

I -testet använder vi dessa kända resultat för att avgöra om en generaliserad integral är konvergent eller divergent, givet att vi vet att funktionen är större eller mindre än mellan integrationsgränserna.

Det här avsnittet handlar om integraler av funktioner med hål, olydigt avvikande punkter och vertikala asymptoter mellan gränsvärden. Vi ska se att vi kan integrera dem alla, med vissa reservationer.

Vi har sett när vi tittar på integrerbarhet och egenskaper hos integraler att vi kan separera en integral i två utan att det förändrar någonting:

om

Säg nu att har en vertikal asymptot vid . För att beräkna integralen måste vi sedan dela den i två och skriva:

Som ett exempel, låt oss beräkna integralen av på .

Vi skriver:

Nu är integralen perfekt symmetrisk runt , så vi kan skriva om den som:

och från p-testet för integraler vet vi att integralen konvergerar, eftersom exponenten . Så vi beräknar integralen och får:

Framför dig står en funktion:

Hur gör man för att integrera på ? Något överraskande kan du faktiskt integrera som vanligt utan att bry dig om problempunkterna:

Detta är giltigt så länge det finns ett ändligt antal punkter på de finita integrationsgränser där antingen är odefinierat eller har ett funktionsvärde som bryter ut ur den kontinuerliga kurvan.

Så låt oss fortsätta, ta bort så många punkter du vill från vilken kontinuerlig funktion som helst, vi kan fortfarande integrera som om ingenting hände.

Skillnaden mellan dessa funktioner och det vertikala asymptotexemplet är att där gick hela den kontinuerliga kurvan av mot oändligheten.

Här har vi bara oändligt små punkter som går dit sin egen väg. De bidrar faktiskt inte med någonting till integralerna: arean under en oändligt liten punkt är verkligen mycket liten, jämfört med den totala arean.

Ta en titt på den här roliga saken:

Med vissa värden på , avbildning till multipla värden på , är kurvan verkligen inte en funktion, och det är viktigt att vi inte behandlar den som sådan.

Så hur går man tillväga för att behandla det istället? Svaret är parametrisering.

I matematik är en båglängd en jämn kurva som förbinder två punkter. För en båglängd i två dimensioner, som den ovan, behöver vi två siffror för att beskriva punkterna längs den. Vi representerar en punkt med , som inte är ett intervall, utan koordinater.

Istället för att är beroende av enligt någon funktion som vi är vana vid, kommer båda dessa att bero på någon annan variabel, en parameter , vanligtvis betecknad med .

Nu kan och uttryckas som funktioner av , kallade parameterformar , oberoende av varandra.

båglängdsparametrisering kommer att se ut som ett ekvationssystem, där endast punkterna som uppfyller båda ekvationerna kommer att ligga på bågen:

För att en båge ska uppstå från dessa ekvationer är det nödvändigt att och är kontinuerliga funktioner, så att det inte finns några luckor i kurvan.

Parametrisera kurvan som beskrivs av ekvationen:

Här vill vi uttrycka och som funktioner av en enda parameter , det vill säga:

Detta kan göras genom att:

och parametriseringen kommer att se ut så här:

Enhetscirkeln beskrivs med ekvationen:

Nu kan vi beskriva enhetscirkeln med endast en parameter

Detta kan göras genom att:

Ta en titt på Snakey:

Du är biolog, så du skulle vilja veta hur lång Snakey är. Problemet är att Snakey sover. Om du tar upp honom och sträcker ut honom framför en linjal kommer han att försöka bita dig. Du bör hitta något annat sätt att mäta hans längd.

Hmmm. Vad sägs om att modellera Snakeys kropp som en kurva? Då kan du faktiskt räkna ut hans längd. Är inte det smart?

Låt oss säga att Snakeys kropp uttrycks av kurvan , där sträcker sig från till, jag vet inte, . En liten ökning av kommer att inducera en förändring i och . Låt oss kalla dessa förändringar och . Den totala förändringen i längd ges av Pythagoras sats:

Försök nu att faktorisera , så att:

Om du vill ha den totala längden, skulle du lägga ihop alla dessa :s, tills du har flyttat från Snakeys huvud till svans. När vi minskar vi upp med en integral. Så Snakeys längd kan skrivas som:

Vad händer om Snakeys kropp motsvarar en funktionskurva? Då kan vi skriva:

Snakeys längd visar sig vara:

där och är de relevanta ränder.

En hängbro är upphängd mellan två punkter över en flod. Avståndet mellan punkterna är 4 meter och den hängande bron beskrivs med formeln:

Om vi vill beräkna längden på bron, måste vi beräkna båglängden:

Genom att differentiera för att få blir vår integral:

Vi har en kurva i -planet, vad vi ska göra är att ta tag i kurvan och rotera den runt eller axeln. Det kanske inte är revolutionerande, men det är vackert. Vi ska se hur vi kan beräkna ytan och volymen på det föremål som dyker upp.

Detta är en funktion roterad runt -axeln:

Säg att vi vill veta dess yta. Vi bygger upp det steg för steg. Kalla ett oändligt litet element av kurvan . Från föreläsningsanteckningen om kurvlängd vet vi att:

Eftersom omkretsen av en cirkel är , med radien, är ytarean på det tunna bandet som visas när vi roterar runt en linje:

Om kurvan vrids kring -axeln, funktionsvärdet , dvs . Nu, för att få hela rotationsyta, måste vi summera alla tunna band.

Detta ger rotationsyta när vi roterar kurvan för runt -axeln:

Om kurvan istället roteras runt -axeln, är radien bara och resten förblir densamma. Så ytan är:

Observera att vi, precis som när det gäller kurvlängder, kräver att funktionen är kontinuerlig.

Rotationskroppar betyder mer eller mindre volymen som uppträder när vi fyller i rotationsytan.

Men att beräkna en rotationskropp följer en något annorlunda och, kanske överraskande, enklare metod.

Vi bygger upp volymen från tunna skivor. Om vi vill veta rotationskroppen för mellan och , skär vi upp -axeln i små segment med längden , beroende på . Vi använder indexet för att referera till intervallet .

För att metoden ska hålla kräver vi att är kontinuerlig. Sedan, med medelvärdessatsen för integraler, finns det något -värde i varje intervall , så att volymen för en skiva är lika med:

Om vi nu låter antalet skivor gå till oändlighet och summera alla skivor, får vi:

Du kanske undrar varför vi inte behöver krångla till för rotationskroppar, när vi var tvungna för ytorna. Anledningen är att när vi hanterar ytan tappar vi för mycket precision om vi ersätter med .

Säg att vi vill beräkna ytarean på en kon som består av att rotera kurvan . Sedan är varje element . Det gör varje tunn ring som ytan är byggd av gånger större med rätt istället för , och det är en stor skillnad.

Men när man approximerar hela volymen är skillnaden mellan att använda och försumbar. Att göra kurvsegmenten oändligt små kommer att eliminera alla skillnader mellan att använda eller för volymen.

Hitta volymen mellan av formen som skapas genom att rotera och runt -axeln, där:

Det första steget är att definiera vad skärningsområdet kommer att vara i vårt problem. För att göra detta kan det vara användbart att notera att i intervallet , som vi kan se nedan.

Nästa steg är att definiera området som varje funktion omsluter. Dessa blir och .

Vi finner att skärningsområdet är . Det kan vi enkelt se på bilden nedan.

Genom att multiplicera med får vi volymelementen . Därefter integrerar vi helt enkelt :

Således är volymen .