Extremvärden och kurvritning

När det gäller att hitta det optimala värdet för något är extremum nyckeln. Inom allt från affärs- till miljöanalys till studievanor är vi intresserade av detta.

Dessa är alla extrema:

I grafen ovan har vi:

Grafen har inget globalt minimum: den sjunker hela tiden när vi går längs den horisontella axeln mot .

Det finns tre klasser av extrema:

Vid en kritisk punkt är lutningen noll. Om vi kallar funktionen hittas de genom att ta derivatan och sätta den till noll:

För att avgöra om detta är en max- eller en min-punkt kan vi titta på funktionsvärdena på några punkter runt , eller derivatan i närheten. Vi kan också, som vi kommer att se i avsnittet om att skissa grafer, använda andraderivatan.

Ibland är punkten vi hittade varken max eller min: om funktionen ökar eller minskar runt hela punkten. Vi kallar denna lokal tillplattning en sadelpunkt.

Om funktionen är definierad på ett öppet intervall, händer det att det lokala eller globala max eller min inte existerar. Det här diagrammet visar ett exempel där det inte finns någon lokal min:

Dags att gå extremt, på riktigt, med ett exempel:

Funktionen är definierad för alla , så vi kommer inte att ha några öppna slutpunkter att hantera.

Om vi tar derivatan får vi:

Derivatan är definierad för alla , så har inga singulära punkter.

De kritiska punkterna hittas genom att sätta derivatan till noll:

Så det är vår kritiska punkt. Genom att använda den i bestäms funktionsvärdet:

För vissa funktioner kan vi rita en rak linje som följer grafen perfekt eftersom eller går till . Denna linje kallas en asymptot .

Funktionen ovan är . Den har två asymptoter: linjen och -axeln. Titta på funktionen: den första termen får att gå till oändlighet när närmar sig noll. Omvänt, när blir stor dominerar den andra termen, vilket gör att funktionen beter sig som för stora . Vi kommer att formalisera dessa intuitiva idéer om ett ögonblick.

Det finns asymptoter av tre slag: vertikal, horisontell och sned. I princip kan linjen vara var som helst i planet, så länge den är rak.

De är till stor hjälp för att skissa grafen, som vi kommer att se i följande avsnitt.

De tre typerna av asymptoter kräver olika tillvägagångssätt. Vi går igenom dem en i taget.

Vanligtvis händer detta om är ett rationellt uttryck vars nämnare är noll vid .

Definitionen av en horisontell asymptot är liknande:

Den sneda asymptoten är trions svarta får:

Uttrycken i gränsvärdena ovan säger bara: när vi går långt ner på -axeln är det ingen skillnad mellan funktionen och den räta linjen .

Given:

- låt oss gå på asymptotjakt.

Vi arbetar systematiskt med vår lösning och börjar med vertikala asymptoter.

Lägg märke till att om vi sätter , är nämnaren noll.

Så det finns en vertikal asymptot vid .

Sedan, hur är det med horisontella asymptoter? Låt oss prova gränsvärdet:

Den första gränsvärde går till oändligheten, den andra försvinner. Så villkoret för en horisontell asymptot är inte uppfyllt.

Till sist, tänk om vi kunde hitta någon sned asymptot? Titta tillbaka på beräkningen från bara ett ögonblick sedan. Det sista steget avslöjar en del bra saker. För vi visade just att:

A ha! Om du flyttar till vänster sida får vi:

Så är en asymptot!

Så vi har två asymptoter: en vertikal, vid , och en snett, . Grafen över funktionen kan ses nedan.

För en funktion , talar om vad funktionens krökning är vid varje punkt. Det vill säga: tenderar den att böjas uppåt eller nedåt.

För en uppåtgående böjning, som bildar en u-form, ökar den förstaderivatan och så är den andraderivatan positiv. Om så är fallet någon gång säger vi att funktionen är konvex där.

På liknande sätt, där funktionens andraderivata är negativ, vilket gör att förstaderivatan minskar, sägs den vara konkav.

De punkter där en funktion ändras från konvex till konkav, eller tvärtom, kallas inflexionspunkter. Att känna till en funktions krökning och att hitta dess inflexionspunkter kan hjälpa oss att skissa grafen.

Vi har tidigare gått igenom hur man bestämmer vissa egenskaper hos funktioner med hjälp av kritiska punkter och asymptoter. Nu kommer vi att tillämpa dessa begrepp för att rita graferna för funktioner.

För att göra det börjar vi med att göra en teckentabell, som innehåller de avgörande egenskaperna hos en funktion som vi behöver för att rita den. Inledningsvis kommer detta att bestå av en -axel följt av två rader för och . -axeln kommer att markeras med värdena vi är intresserade av för respektive rad, vilket skapar en kolumn för varje -värde vi är intresserade av och varje intervall mellan dem.

När det gäller att hitta dessa så söker vi efter två saker:

För varje sådan vi hittar lägger vi till en kolumn i teckentabellen, med ytterligare kolumner mellan dem.

För är det vi är intresserade av lutningen till vänster och höger om varje kritisk punkt, samt var definieras. Kom ihåg att lutningen är noll vid en kritisk punkt, och därför kommer derivatans värde runt punkten att berätta om det är en lokal max, lokal min eller en sadelpunkt.

När det gäller är vi intresserade av funktionens krökning för att underlätta vår skissning.

Vi infogar denna information om funktionen i vår teckentabell allt eftersom vi ger den, och när vi är klara borde vi ha allt vi behöver för att skissa den. För att hjälpa oss i den processen lägger vi till en sista rad i teckentabellen där vi anger hur tenderar att se ut på varje intressepunkt, och i intervallen mellan dem, baserat på den information vi har samlat in.

Listan på saker vi tittar på innan vi går in i skissdelen är lång, och minns bäst när den ses i form av ett exempel.

Låt oss gå igenom stegen för att plotta funktionen:

Utan någon nämnare som kan tendera till när närmar sig något värde , har funktionen inga vertikala asymptoter som vi behöver ta hänsyn till i teckentabellen.

Genom att använda Potensregeln en gång finner vi att:

Nu, en annan tillämpning av samma regel, då får vi:

Först hittar vi de kritiska punkterna genom att sätta derivatan till noll:

Med liten ansträngning ser vi att de två kritiska punkterna är och .

Låt oss nu titta på derivatets värde runt dessa punkter. Vårt exempel är differentierbart över hela intervallet, så vi kan välja vilka punkter vi vill mellan och utanför de kritiska punkterna. För enkelhetens skull väljer vi , och :

Det första vi letar efter är böjningspunkter:

Uttrycket är bara noll där polynomet har rötter. Utan att visa beräkningen här är dessa rötter och .

Därefter är vi intresserade av krökning på intervallen mellan och utanför dessa punkter. Återigen, för enkelhetens skull väljer vi några punkter , , och för att utvärdera vid:

är konvex för

är konkav för

är konvex för

Det första vi skulle vilja hitta här är funktionens värden vid de kritiska punkterna:

Därefter är vi efter avskärningarna för - och -axeln för funktionen respektive. Genom att koppla in i funktionen finner vi att avskärningen för -axeln är . Sedan, genom att bara titta på funktionen, bestämmer vi att dess enda rot är , så det finns ingen annan avskärning för -axeln.

Slutligen skulle vi vilja hitta potentiella icke-vertikala asymptoter:

horisontell asymptot vid

ingen annan asymptot

Proceduren har varit lång, men så värt det. Efter att ha fyllt i teckentabellen ser det ut så här:

Att rita en korrekt graf över funktionen är nu enkelt: