Integraler

Grundsatsen för matematisk analys har ett grandiost namn. Jag menar, den har ordet "grundläggande" i sitt namn.

I matematikland är de mest grundläggande satserna förstklassiga medborgare. Nästa i hackordningen är satserna med namn, som Integralkalkylens medelvärdessats. Sedan finns det satserna utan namn, som i läroböcker kallas för "sats XX". Äntligen har vi följdsatser. följdsatser är sociala utstötta, och de tilldelas inte ens de mest grundläggande rättigheterna.

Du kanske blir imponerad av matematisk analys grundsats, eftersom den har krönts med epitetet "fundamental". Men det är lite av en besvikelse. Precis som du kanske blir imponerad av någon med en dyr bil och en klocka men sedan upptäcker att den här personen inte var så speciell. Du kommer att upptäcka att grundsatsen för matematisk analys är lite av en besvikelse.

Ok, här är vad matematisk analys grundläggande sats säger:

Om är kontinuerlig på och:

då är differentierbar och har derivatan . Det är allt. Du kan också tänka på som en beskrivning av området fram till punkten , så här. Så grundsatsen för matematisk analys relaterar arean under grafen med funktionsvärdet.

Men det finns faktiskt en viktig följdsats av matematisk analys grundläggande sats. Som det visar sig kan du beräkna en integral som skillnaden i . Här är vad jag menar.

Denna följdsats används hela tiden. Så hackordningen i matteland återspeglar inte riktigt användbarheten av varje sats.

Integralen är arean under grafen. I slutet av denna föreläsningsanteckning kommer du att se varför. Du kommer också att veta vad symbolen kommer ifrån. Men för att lära sig måste man jobba för det. Så vi börjar med att cykla lite.

Vi ska cykla uppför ett berg.

Vi börjar entusiastiskt, men när vi börjar klättra byggs mjölksyran upp och vi sänker farten gradvis. På toppen cyklar vi sakta, skönt och lätt. När vi börjar rulla nedför låter vi farten öka gradvis igen.

Hastighet-tid-grafen för denna cykeltur kan se ut så här:

Här är hastigheten och är tiden.

Säg att vi skulle vilja veta hur långt vi har cyklat, och allt vi har är den här grafen, som du kanske är bekant med:

med tillryggalagd sträcka, så för denna vänliga graf handlar det bara om att summera arean av trianglar och rektanglar:

Att lägga ihop dessa lättkalkylerade områden ger oss den totala sträckan vi har cyklat.

Anta att vi inte skulle vara villiga att anpassa oss till att bara ändra vår hastighet linjärt. Vi får då en kurvig hastighetsgraf under vilken vi måste räkna ut området.

Eftersom vi saknar metoder för att beräkna områden med olydiga, oregelbundna föremål, är vårt bästa val att reducera kurvan till något vi enkelt kan beräkna. Till exempel, rektanglar:

I det här exemplet delar vi upp funktionens definitionsmängd i små intervall . Höjden på rektangeln för varje intervall anses vara funktionsvärdet vid dess mittpunkt.

Sedan anropar den första rektangelns höjd , dess area är . Nästa har arean , och så vidare tills den sista, med arean .

För att få arean under grafen, ta summan av alla rektanglar:

Att välja mittpunkten för varje intervall för att definiera höjden är bara ett godtyckligt val. Vi kunde ha valt vilken punkt som helst på intervallet. Andra sätt att välja kommer också att approximera funktionen.

När vi summerar alla rektanglar kommer vi att landa på ett visst avstånd från det exakta svaret.

Men om du gör mindre och mindre, blir approximationen bättre och bättre:

..tills vi gör rektanglarna oändligt tunna, vilket reducerar till en liten differential . Sedan blir rektangelsumman exakt samma som arean under kurvan. Vad vi har är inte längre en summa, utan en integral , betecknad med en utsträckt .

Låt vara värdet exakt vid det aktuella lilla intervallet. Låt slutet av den definitionsmängden vara . Då är integralen:

En strikt definition kommer att följa i nästa anteckning.

Vissa grafer sjunker under -axeln. När vi vill hitta arean under grafen för en sådan kurva subtraherar vi arean som ligger under från resten. Detta är analogt med att säga att höjderna på de oändligt tunna rektanglarna är negativa för dessa intervall.

Detta är kärnan i medelvärdessatsen för integraler. Det står bara att vi kan hitta en så att arean av rektangeln är densamma som arean under grafen.

Funktionen måste vara kontinuerlig för att satsen ska hålla.

Formellt:

Okej, det verkar rimligt, men varför gör vi ett teorem av något som bara verkar uppenbart? Tja, det är en viktig del av beviset för en av de mest centrala satserna i den här kursen: matematisk analys grundläggande sats. Denna sats kommer att presenteras i nästa föreläsningsanteckning.

Låt oss för skojs skull se var vi hittar -värdet som uppfyller satsen för:

på [0, 3].
Genom att integrera får vi:

I vårt fall är intervalllängden . Vilket värde ska läggas in i för att få ?

Vi ser att vi behöver . Om vi låter är vi klara.

Vi har tidigare täckt begreppet obestämda integraler och sett hur de förhåller sig till antiderivator. Som namnet antyder finns det också något som kallas bestämda integraler.

I föregående avsnitt diskuterade vi området under en funktionskurva. Nu ska vi titta på hur den bestämda integralen förbinder området under kurvan och den obestämda integralen.

Säg att vi har en funktion , och formen av den obestämda integralen av :

där är en antiderivata av och C är en konstant.

Den bestämda integralen definieras med den indefinita enligt följande:

Här kallas integranden, och talar om för oss att är integrationsvariabeln som vi tar antiderivatan med avseende på. och kallas integrationsgränserna, där är den undre och den övre gränsvärde.

Enligt denna definition måste vi kunna hitta antiderivator av mellan och för att det ska kunna integreras där. Det får dock inte vara ett och samma antiderivata under hela intervallet. Som vi kommer att se längre ner kan vi dela upp integralen i kortare delintervall och lägga till integralen av dessa.

Med ord, den bestämda integralen, eller helt enkelt integralen, av från till är den obestämda integralen utvärderad till , minus den obestämda integralen utvärderad vid . Observera att konstanten på grund av subtraktionen upphävs och det finns inget behov av att inkludera den i beräkningen.

Det visar sig att denna procedur exakt beräknar arean mellan -axeln och funktionens kurva, där arean ovanför -axeln är positiv, och arean under den anses vara negativ.

För att se vad detta betyder i praktiken, låt oss ta en titt på de enklaste exemplen:

Låt , och betrakta området under grafen från till . Detta blir helt enkelt en kvadrat med sidan och en area på .

Vi vet att den obestämda integralen av är , så låt oss se vad som händer när vi löser samma problem med bestämda integraler:

precis som vi förväntade oss.

Det finns vissa egenskaper hos integraler som hjälper oss att beräkna dem effektivt:

Egenskaper hos integraler

1. Om du vänder om gränsvärdena ändras integralens tecken:

2. Integraler är linjärt beroende av integranden:
Om och är konstanter, då:

3. Triangelolikheten för sträcker sig till integraler:
Om , då:

4. Integralen kan delas in i delintervall:

5. Integralen för en jämn funktion på ett intervall som är symmetriskt omkring 0 är lika med två gånger integralen av den positiva sidan av intervallet:
Om , då:

6. Integralen för en udda funktion på ett intervall som är symmetriskt omkring 0 är lika med 0:
Om , då

7. Integraler bevarar ojämlikheter:
Om och , då