Vi behöver kedjeregeln för att beräkna derivatan av funktioner som har en funktion som argument. Det generiska uttrycket för en sådan funktion är:

Låt oss föreställa oss att vi ombeds att beräkna derivatan av detta:

Här skulle vi ha som den yttre funktionen och som den inre funktionen .

Vi kan beräkna sådana derivator genom att jonglera lite med definitionen av derivatan. Men beväpnad med kedjeregeln kan du ta genvägen, direkt till en snygg liten formel:

Med hjälp av Leibniz notation kan regeln också skrivas så här:

En sidoanteckning: en del litteratur använder notationen för att betyda . Dessa två har samma betydelse.

För att få en känsla för varför kedjeregeln är korrekt, låt oss överväga en matematikprofessor, hon promenerar sakta genom universitetets korridor på natten, medan fönstren skakar av ett faktiskt tåg som färdas med 10 gånger hennes hastighet. Himlen är plötsligt upplyst av ett stjärnfall som rör sig med 2000 gånger tågets hastighet.

Hur mycket snabbare är stjärnan jämfört med matematikprofessorn?

Vi vet stjärnans relativa hastighet jämfört med tåget. Vi vet också hur snabbt tåget är jämfört med professorn. Med hjälp av Leibniz notation för derivator kan vi skriva:

Detta är kedjeregeln. Det är bara ett sätt att dela derivatan i mindre, mer hanterbara delar.

I exemplet är hastigheterna konstanta. Vi kunde ha gjort beräkningen utan att veta om kedjeregeln. Men när derivatorna blir mer komplicerade, är de lika giltiga och desto mer kraftfulla.

Låt oss ta en titt på exemplet vi nämnde i början. Vi tar derivatan av steg för steg, med tanke på att vi definierade och . Vi får:

Ofta kommer du att stöta på funktioner med en inre funktion inuti den inre funktionen, eller där den inre funktionen är en produkt. Ibland är kompositionen ännu mer komplicerad.

När detta händer, misströsta inte. För att ta derivatan av en sammansatt funktion tillämpar vi reglerna i följd.

Men viss initial förvirring är vanlig, och att ta derivatan är en konst som kräver övning. Övningarna är ett bra ställe att börja för att bemästra detta ämne.