Differentieringsregler

Säg att vi har ett uttryck:

som vi vill differentiera. Sedan väljer vi Potensregeln ur verktygslådan. Den talar om för oss hur man differentiera komponenterna, , där är någon konstant.

Att visa denna praktiska regel med definitionen av derivatan visar sig vara lite knepigt, så vi börjar med rutor och kuber. Sedan avslutar vi med att visa regeln med definitionen för .

Säg att vi har funktionen:

Hur hittar vi dess derivata?

Ta en titt på denna fyrkantiga form:

Dess sidolängd är , så arean är . Genom att öka sidolängden med en liten bit vill vi veta hur mycket detta påverkar området. Lägg märke till att detta faktiskt är derivata av kvadraten.

När vi skär de nya delarna från vår fyrkant får vi dessa komponenter:

Så kvadratstorleken ökar med två gånger . Om vi kallar kvadratytan så är den lilla förändringen när vi ökar med :

Som vi nämnde när vi introducerade differentialer är vi fria att flytta runt som en variabel. Så vi drar över den till andra sidan.

Tada! Kvadratens Derivatan . Och eftersom kvadratens area är en funktion av dess sidolängd, har vi nu faktiskt hittat derivatan av :

Nu kanske några av er har frågat er själva varför vi så slarvigt kastade ut den lilla -rutan i det övre högra hörnet.

Det visar sig att när vi minskar tillräckligt, så försvinner uttryck med kvadratiska differentialer helt och hållet. Detta kan låta föga övertygande, men området blir faktiskt noll när vi gör oändligt litet.

Lägg till en dimension, överväg:

I föregående avsnitt kunde ses som arean som en funktion av dess sidolängd. Analogt är volymen av en kub som funktion av dess sidolängd .

När vi ökar sidlängden en liten bit, består förändringen i volym av dessa tre block, vart och ett med arean :

Den totala areaförändringen är alltså:

De tre rektanglarna på kubens kanter har arean , så eftersom de innehåller termen blir deras volym noll när vi gör oändligt liten.

Nu, genom att dra i ekvationen ovan till vänster sida, slutar vi med förändringen i volym, som en funktion av den ändrade sidlängden :

De två exemplen och följer samma mönster som vi tar derivatan: exponenten kopieras till framför variabeln och minskas sedan med en.

Genom att öka dimensionen på kuben som representerar funktionen blir vi mer förvirrade än upplysta. Mönstret fortsätter dock eftersom vi vill ta derivatan av och så vidare.

Detta kan formaliseras med följande teorem.

Formeln är giltig för alla och så att uttrycket är vettigt som ett reellt tal.

Observera att om är exponenten som vi flyttar ner noll. Således är derivatan av noll.

Med hjälp av definitionen av derivatan visar vi att formeln är giltig för :

För att visa regeln för är ett sätt att gå tillväga på liknande sätt, men det blir snabbt jobbigt med antalet termer som ökar när växer i .

Trigonometriska funktioner beskriver kvantiteter som uppträder periodiskt och följer regelbundna mönster.

Med detta i åtanke bör vi förvänta oss att förändringshastigheten, eller derivata, av sådana funktioner visar ett liknande periodiskt beteende.

Tänk på hur temperaturen ute brukar förändras under de fyra årstiderna.

När vi går från våren när det blir varmare, mot hösten när temperaturen av en slump tenderar att sjunka, går vi från en positiv förändringstakt till en negativ.

Någon gång i mitten av sommaren, när det är så varmt som det blir, kommer temperaturen att ändras i takt med .

Detsamma kommer att hända vid tidpunkten för lägsta temperatur på vintern, eftersom förändringstakten går från att vara negativ till positiv.

Om vi låter representera temperaturen vid tiden , kommer motsvarande derivata , som beskriver temperaturförändringshastigheten, att vara . Detta är en av en handfull grundläggande trigonometriska differentieringsregler:

Observera att måste uttryckas i radianer, reglerna gäller inte för vinklar mätt i grader!

Alla ovanstående satser kan bevisas med den formella definitionen av derivatan, men att göra det kan vara en smärtsam upplevelse. Istället rekommenderar vi att du åtminstone lär dig de två första relativt enkla reglerna utantill.

De bilder som följer kommer att lära dig tekniker som kan användas för att härleda de fyra sista reglerna från derivatorna av sinus och cosinus, och relationerna mellan de trigonometriska funktionerna.

Givet en funktion , hur skulle du differentiera funktionen?

Att differentiera det med definitionen skulle vara ganska jobbigt. Testa bara att expandera ...

Tja, är produkten av två funktioner, och , eller hur?

Fundera nu på vad derivatan representerar. Derivatan beskriver en förändringstakt. Hur förändras produkten ?

Om vi ökar med någon liten mängd kommer det att orsaka en förändring i såväl som i . Ändringarna i de sammansatta funktionerna beror i sin tur på och . Så vi förväntar oss att termerna och dyker upp någonstans.

Eftersom vi har att göra med en produkt, skulle det också vara logiskt om det förekom någon multiplikation här.

Således är regeln för derivatan av en produkt:

Det dyker upp hela tiden, så du borde kunna ge rätt svar.

Eftersom:

då får vi:

Vi behöver kedjeregeln för att beräkna derivatan av funktioner som har en funktion som argument. Det generiska uttrycket för en sådan funktion är:

Låt oss föreställa oss att vi ombeds att beräkna derivatan av detta:

Här skulle vi ha som den yttre funktionen och som den inre funktionen .

Vi kan beräkna sådana derivator genom att jonglera lite med definitionen av derivatan. Men beväpnad med kedjeregeln kan du ta genvägen, direkt till en snygg liten formel:

Med hjälp av Leibniz notation kan regeln också skrivas så här:

En sidoanteckning: en del litteratur använder notationen för att betyda . Dessa två har samma betydelse.

För att få en känsla för varför kedjeregeln är korrekt, låt oss överväga en matematikprofessor, hon promenerar sakta genom universitetets korridor på natten, medan fönstren skakar av ett faktiskt tåg som färdas med 10 gånger hennes hastighet. Himlen är plötsligt upplyst av ett stjärnfall som rör sig med 2000 gånger tågets hastighet.

Hur mycket snabbare är stjärnan jämfört med matematikprofessorn?

Vi vet stjärnans relativa hastighet jämfört med tåget. Vi vet också hur snabbt tåget är jämfört med professorn. Med hjälp av Leibniz notation för derivator kan vi skriva:

Detta är kedjeregeln. Det är bara ett sätt att dela derivatan i mindre, mer hanterbara delar.

I exemplet är hastigheterna konstanta. Vi kunde ha gjort beräkningen utan att veta om kedjeregeln. Men när derivatorna blir mer komplicerade, är de lika giltiga och desto mer kraftfulla.

Låt oss ta en titt på exemplet vi nämnde i början. Vi tar derivatan av steg för steg, med tanke på att vi definierade och . Vi får:

Ofta kommer du att stöta på funktioner med en inre funktion inuti den inre funktionen, eller där den inre funktionen är en produkt. Ibland är kompositionen ännu mer komplicerad.

När detta händer, misströsta inte. För att ta derivatan av en sammansatt funktion tillämpar vi reglerna i följd.

Men viss initial förvirring är vanlig, och att ta derivatan är en konst som kräver övning. Övningarna är ett bra ställe att börja för att bemästra detta ämne.

Säg att jag ger dig en funktion som ser ut ungefär så här:

och jag ber dig ta derivatan av det. Vad gör du?

Du kan till exempel servera mig lösningen på en tallrik med hjälp av kvotregeln:

Denna regel kan härledas från produktregeln på följande sätt:

Vi noterar att:

Med hjälp av detta faktum skriver vi:

Och det är kvotregeln igen.

En liten anmärkning: när vi tar derivatan av kan vi använda kedjeregeln: . Den inre funktionen är och den yttre funktionen är .

Det mest grundläggande exemplet på kvotregeln är när man tar derivatan av:

Som nämnts ovan kan vi använda kedjeregeln för att hitta derivatan. Vi kan också använda kvotregeln.

Täljarfunktionen skulle då vara . Derivatan av är noll, så:

Det här exemplet har ett eget namn: den inversregeln.

Låt och . Om vi tar derivatan av kvoten får vi:

Täljaren kan förenklas med trigonometriska regler, som . Alltså får vi:

Men, som vi har sett när vi pratar om trigonometriska funktioner, . Så vi har precis visat:

Detta kan också skrivas som , om vi inte använder trigonometriska identiteter när vi förenklar.

Låt oss dissekera följande polynom:

Det är summan av funktionerna och . Dessutom kan ses som ett konstant värde, , multiplicerat med funktionen .

Hur ska vi differentiera polynomet? Tur att vi har differentieringsregler!

Det finns till exempel en summaregel :

Det fungerar lite som multiplikation:

Givet en funktion bestäms förändringen i funktionen helt av förändringarna i de sammansatta funktionerna.

Med en konstant har vi också regeln

Precis som i vanlig multiplikation kan du extrahera en term:

Slutligen är derivatan av en konstant .

Detta är vettigt i ljuset av den geometriska tolkningen av derivatan. Om du skulle rita en tangentlinje till en konstant funktion som , skulle tangenten inte ha någon lutning.

Låt oss börja med summaregeln. Ordna om termerna i definitionen av derivatan så får du:

När slutar vi med:

Ta-da. Det är anledningen till att summaregeln fungerar.

För att hitta vår andra regel kommer vi att göra ungefär samma sak:

Återigen, genom att låta , får vi

Samma resonemang ger oss den tredje regeln. Om får vi bara:

Och när , ja då är resultatet .

Vi kan distribuera dessa regler på vårt polynom . De ger oss:

Eftersom summaregeln och konstantregeln gäller, säger matematiker att differentiering är en linjär operation.