Un besoin naturel est de pouvoir calculer des distances dans l'espace. Cela peut être la distance entre deux points, entre un point et une ligne ou entre une ligne et un plan. Il existe des formules de distance pour les différents cas, et elles sont présentées ici.

Il est tentant de les mémoriser, mais cela n'est pas recommandé car il y a un lien fort entre les étudiants qui ne réussissent pas l'examen et ceux qui mémorisent ces formules au lieu d'apprendre le métier.

Par une distance , nous entendons toujours la distance la plus courte entre deux points, ce qui équivaut à calculer la longueur d'un vecteur qui a été créé à partir de ces deux points. La fonction suivante s'applique pour :

ce qui peut être reconnu à partir de la longueur d'un vecteur. Puisque chaque vecteur est une différence relative dans les différents termes, c'est-à-dire une flèche entre deux points, la formule de la distance entre les points peut être dérivée de la définition de la longueur d'un vecteur.
Les éléments suivants s'appliquent à la formule de distance :

Nous allons aborder deux méthodes pour calculer la distance entre un point et une ligne .

Soit:

Prends un point situé sur la ligne . Avec un peu de créativité, tu peux voir que et forment un parallélogramme avec la hauteur . La surface est la base multipliée par la hauteur, qui est également égale à la longueur du produit vectoriel . Par conséquent, nous pouvons diviser ce dernier par la longueur de la base (le vecteur ) pour obtenir la hauteur .

La formule ci-dessus ne fonctionne que pour car le produit vectoriel n'est défini que dans ce cas.

Soit:

La distance peut être trouvée par projection, une relation illustrée par une simple somme vectorielle:

Par conséquent, il s'applique que:

Considère la plus courte distance entre le point et le point sur la ligne dont le vecteur forme un angle droit avec la ligne. Si les points et sont connus, le calcul de la longueur est simple, à savoir:

Souviens-toi que , ce qui signifie que le vecteur est orthogonal à la ligne . Nous trouvons le point inconnu en fixant l'exigence correspondante pour , c'est-à-dire l'équation:

Comme les deux vecteurs forment un angle droit, le produit scalaire devient 0. Le point est inconnu avec plusieurs coordonnées, ce qui résulte en plusieurs inconnus (un par coordonnée) alors que nous n'avons qu'une seule équation. Cependant, le point peut être exprimé en utilisant la forme paramétrique pour pour une certaine valeur de paramètre inconnue :

où et sont connus. Nous faisons la substitution suivante:

L'équation est résolue pour la valeur encore inconnue, à savoir , puisque le vecteur forme un angle droit avec . Lorsqu'elle est résolue, insère dans la forme paramétrique et obtiens le point désiré . Puis nous avons deux points connus, et , et la distance entre eux est la longueur de leur vecteur :

Avec un peu de créativité, nous pouvons construire le plan qui contient le point et a un vecteur normal parallèle au vecteur direction pour . À partir de là, le point d'intersection entre et peut être déterminé, qui sera également le point le plus proche sur la ligne de . La procédure est la suivante :

Soit un plan et un point dans l'espace comme suit :

Crée la ligne qui passe par le point et frappe le plan à angle droit. Le vecteur direction devient donc le vecteur normal du plan (que nous lisons à partir de l'équation du plan). Nous obtenons alors :

Nous cherchons le point d'intersection entre la ligne et le plan . La forme paramétrique pour exprime tous les points le long de la ligne, et nous pouvons exprimer chacun de ces points de la manière suivante :

Notre conception de garantit un point d'intersection précisément parce que le vecteur direction est le vecteur normal du plan. Par conséquent, nous mettons l'expression ci-dessus dans l'équation du plan :

L'équation ci-dessus est facilement résolue car seul est inconnu. Notons la solution comme :

ce qui retourne également le point d'intersection désiré lorsqu'il est inséré dans la forme paramétrique pour . Le point a donc les coordonnées suivantes :

Maintenant, et sont connus, et donc la distance est facilement calculée en créant un vecteur et en calculant la longueur :

Ce qui conduit à la formule de la distance entre un point et un plan. Encore une fois - il est recommandé de se souvenir de la méthode menant à la formule plutôt que de se souvenir de la formule par cœur !