Intro
har förbryllat matematiker i evigheter. Redan för 4000 år sedan hade både egyptiska och babyloniska kulturer räknat ut att förhållandet mellan omkretsen och diametern på valfri cirkel är konstant.
Å andra sidan, när det gällde att bestämma denna konstant, var båda samhällena ganska långt ifrån sina uppskattningar. Uppgiften kan låta enkel, men svaret är inte så självklart.
Anledningen är att är ett irrationellt tal, och inget antal decimaler är någonsin tillräckligt för att representera det exakt. Därför har det varit av största intresse att uppskatta dess värde för praktisk användning.
Fram till helt nyligen använde den mest exakta metoden yttre och inre polygoner med ökande antal sidor för att begränsa arean av en cirkel. Arean av sådana polygoner kan beräknas exakt, från vilket ett intervall för härleds.
Om vi låter antalet sidor växa sig större och större bildar vi en oändlig serie av approximationer som bara blir mer och mer exakta. Genom att använda denna metod med en polygon på sidor, hittas exakt upp till 37:e decimalen.
Koncept
Om du lägger till 5 naturliga tal i rad får du en summa. Låt oss kalla denna summa
Om du lägger till oändligt många naturliga tal, då skulle du ha en serie
En serie är inget annat än en oändlig summa
Summering
En serie kan antingen divergera eller konvergera. Om en serie divergerar betyder det att den blir lika med antingen eller . Om serien är konvergent kommer den att komma närmare och närmare ett visst specifikt nummer. Det kanske inte når det men det kommer att bli godtyckligt nära. Säg till exempel att vi har följande serie:
Den här serien kommer aldrig att nå 1. Men den kommer att bli godtyckligt nära. Vi säger att denna serie är konvergent lika med 1. När det gäller fallet ovan går vi till och med så långt som att skriva:
för de flesta tillämpningar. Exempel på divergerande summa är:
Denna summa är divergerande och vi skriver ibland:
för att visa att det är divergerande. I följande text kommer vi att gå igenom ett test för att kontrollera om en serie är konvergent eller divergent. Vi kommer att se att:
och är därför divergerande, det kommer vi också att se
och är därför konvergent. Att hitta om de två fallen ovan är divergenta eller konvergenta kommer att göras med hjälp av många tester. Det enklaste av dessa är -testet. För serien nedan, om , konvergerar serien. Om , divergerar serien.
Talföljd
Sekvenser och deras egenskaper
En sekvens är en ordnad lista med element som har en början men inget slut. Den mest elementära av sekvenser är sekvensen av positiva heltal . Vi kallar elementen i en sekvens för termer . Indexet börjar vanligtvis på eller på .
Det finns tre sätt att presentera en sekvens:
vi kan ge en lista följt av ..., om termerna följer ett fint mönster,
vi kan ge en formel för att hitta från föregående termer,
vi kan tillhandahålla en formel för som en funktion av .
När det gäller notation kommer vi att beteckna en sekvens som .
En mycket känd sekvens är Fibonacci-talen, definierade som:
Denna sekvens är dokumenterad så tidigt som för år sedan, och kan hittas i naturen överallt, till exempel i form av kycklingägg, kameleontsvansar och romansk broccoli.
En sekvens sägs öka om vi för alla har , och övre gräns om det finns ett nummer som är minst lika stort som den största .
Likaså sägs en sekvens vara minskande om för alla , , och lägre gräns om det finns ett tal som är minst lika liten som den största .
En sekvens som är både övre och nedre avgränsad är bara begränsad . Den håller sig lydigt mellan några och några .
Konvergens av sekvenser
Om när vi låter gå till oändligheten går sekvensen mot något tal , säger vi att det är konvergent , annars är det divergent.
Vissa divergerande sekvenser går till oändlighet när växer, vissa bara hoppar runt och närmar sig inte något tal alls. Ett exempel på det andra fallet är:
Detta är en alternerande sekvens, vilket innebär att två på varandra följande termer alltid har motsatta tecken. Den hoppar för alltid mellan och .
Alla sekvenser som är både övre och ökande, eller nedre gränsade och minskande, konvergerar. Detta är ganska intuitivt: en sekvens som växer för evigt men som inte går över ett antal måste komma oändligt nära när sekvensen blir längre och längre.
Några fler exempel
Avvikande sekvenser
Ovanstående sekvens avviker mot , medan följande divergerar mot :
Konvergerande sekvenser
Sekvensen ovan är ökande och övre gräns, så den konvergerar:
Slutligen är denna sekvens avtagande och lägre gräns, konvergerande mot :
Serie och konvergens
En sekvens att börja med
Här är en sekvens:
Lägg märke till att nästa term är den sista fördubblad. Att kalla den :te termen ger alltså
Vidare, eftersom detta gäller alla termer, kan vi skriva:
Observera att i detta fall är . Varsågod och testa formelns riktighet för de första par termerna!
Serie- och delsummor
Låt vara en sekvens, och låt vara sekvensen där varje element definieras som:
Sedan definierar vi serien som:
Det borde se förvirrande ut till en början. Men allt vi säger är att serien är vad vi får, om vi summerar alla element i sekvensen . Så, serien är faktiskt en summa .
Siffrorna är delsummorna av serien:
Delsummorna kan skrivas mer kompakt som:
En liten uppfräschning: den stora grekiska sicksackbokstaven är symbolen för en summa. längst ner tillsammans med på toppen betyder: vi tar summan av termerna med index till av vad som skrivs efter.
I exemplet vi hade skulle delsummorna vara:
En delsumma av en serie är summan av de första termerna i sekvensen
Konvergens och divergens av serier
Så en serie är summan av en oändligt lång sekvens. Men hur kan det någonsin vara en siffra? Om vi sätter ihop oändligt många element, summerar de inte alltid till oändlighet?
Tja, det visar sig att så inte är fallet. Vissa mörka magiska egenskaper som är inneboende i matematik gör att vissa sekvenser, även om de är oändliga, summerar till ett tal.
Dessa är serier där gränsvärdet:
existerar. Vi kallar dem konvergenta . Serier där denna gränsvärde skjuter iväg till oändligheten kallas divergenta .
Vad detta betyder är att om serien är konvergent kan vi hitta en övre begränsning så att summan alltid förblir under den, eftersom vi lägger till fler och fler termer av sekvensen .
Divergenta serier, å andra sidan, kommer alltid att kliva över alla gränser, även om vi verkligen försöker vara generösa.
Observera att även om sekvensen konvergerar, betyder det inte att serien gör det. Faktum är att vi behöver sekvensen för att konvergera mot noll för att serien ska konvergera, och inte ens detta räcker.
I de kommande anteckningarna kommer vi att gå igenom detta och två andra metoder för att avgöra om en serie konvergerar.
Geometrisk serie
Geometriska serier är serier av formen:
Termerna utgör en geometrisk sekvens, så att för några .
Dessa serier är i en grupp av bara några typer av serier som vi kan beräkna, så länge som .
-serien för pappersstorlek
-serien är ett standardiserat system för pappersstorlekar, där den största kallas . I passar det papper i storleken . I passar det , eller , eller och så vidare.
Det betyder att vi kan skriva:
Summan till höger är en geometrisk serie, och den är lika med . Vi kommer att visa detta om ett ögonblick.
Så om vi lägger alla papper i storleken tillsammans får vi:
Snyggt, inte sant?
Om detta inte övertygade dig, vänta bara på det överraskande visuella beviset nedan.
Varför är summan lika med ?
För en allmän geometrisk serie:
är förhållandet mellan serien. I pappersfallet är .
Vi ska visa varför. Vi börjar med att utföra ett trick, som leder oss till summan av serien. Observera dessa två summor:
Den första är en delsumma av serien.
, observera att de flesta termer bara eliminerar varandra. Till sist får vi:
Blandar vi runt lite saker får vi:
Detta är formeln för delsumman av en geometrisk serie med termer.
När vi låter gå till oändligheten försvinner (vi krävde ). Således, när , ger det summan av serien:
Så med och i formeln ovan ser vi att summan av alla papper som är mindre än är:
Så vi kan få in en oändlig summa på ett pappersark!
Exempel
Beräkna den geometriska serien nedan:
Observera att formeln börjar på . Vi kan alltså inte använda formeln för geometrisk summa direkt. Men med följande knep kan vi omvandla uttrycken till två summor:
Vi kan nu använda de två formlerna för summor och delsummor:
Termkriteriet
Konvergenstest
Den sammansatta räntan du har tjänat sedan du satte in ett belopp på ditt sparkonto beräknas med formeln:
där är räntan som anges i procent, och hur många gånger banken beräknar ränta, vilket vanligtvis är en gång per dag.
Finns det ett gränsvärde för hur mycket pengar vi kan tjäna på ett givet belopp?
Vi kan formulera om frågan som: Om , konvergerar serien?
Svaret är nej, och vi kan bevisa det med hjälp av vissa tekniker som kallas konvergenstester.
Termkriteriet
På grund av dess enkelhet är det första testet vi vanligtvis använder för att undersöka konvergensen av en serie termkriteriet.
Om termerna i serien inte närmar sig noll kommer serien att divergera
Termkriteriet
Låt vara den :te termen i en följd. Nu om
sedan
kommer att skilja sig åt.
För att se varför detta är sant, föreställ dig vad som skulle hända om gränsvärdet inte var noll, utan något annat värde . Sedan, när , , och summan av termerna närmar sig , där är antalet termer vi betraktar.
Eftersom det inte finns någon gränsvärde för hur stor kan vara, blir summan oändligt stor eller liten, beroende på tecknet . Följaktligen avviker serien till .
Observera att satsen anger en implikation och inte en ekvivalens . Med andra ord, bara för att denna gränsvärde råkar vara noll kan vi inte dra slutsatsen att serien kommer att konvergera.
Låt oss återgå till formeln för att beräkna sammansatt ränta:
Om vi låter , får vi serien:
Här är en konstant och en liten procentandel, så . Därför kommer , den :te termen av summan, att tendera till 0 med växande .
Som en konsekvens är termkriteriet ofullständig, och vi måste gå vidare till ytterligare tester. Vi kommer att studera ytterligare konvergenstest i de kommande föreläsningsanteckningarna.
Exempel 1
Serien:
avviker eftersom om vi använder termkriteriet ser vi att:
Exempel 2
Om vi tillämpar termkriteriet på serien:
då ser vi att:
Eftersom termkriteriet ger oss gränsvärdet 0, kan vi inte dra några slutsatser om divergens eller konvergens, utan måste använda andra tester. Denna serie kallas den harmoniska serien och är i själva verket divergerande.
Kvotkriteriet
Saker och ting börjar bli ganska abstrakta nu, så låt oss bara ta ett steg tillbaka och sammanfatta var vi är just nu.
En serie var bara denna summa med ett oändligt antal termer:
Ett ord av varning: vi skriver inte , eftersom det inte finns en sista term . Så vi vill bokstavligen ha " "-delen.
I matematisk analys vill vi ofta veta om en serie har ett visst värde. Kanske har en serie ett värde av eller . Serier kan också skjuta iväg till oändligheten, eller negativ oändlighet!
Varför bry sig?
Serier dyker upp hela tiden i den verkliga världen. Det finns många tillämpningar inom ekonomi, fysik - och till och med för spel. Till exempel kan idén med en serie användas för att avgöra om ett spel sannolikt kommer att löna sig eller inte.
Kvotkriteriet
Kvotkriteriet låter oss härleda om en serie har ett visst värde, till skillnad från eller . I de flesta verkliga tillämpningar har vi att göra med den första typen av serier.
Kvotkriteriet jämför två på varandra följande termer, och
Okej, du har en serie. Ta nu en titt på förhållandet mellan två på varandra följande termer:
Om gränsvärdet är är serien konvergent. Varje term blir mindre och mindre, så serien kommer att växa långsammare och långsammare. I slutändan kommer det att konvergera mot något värde.
Men om gränsvärdet är blir varje term större och större. Serien kommer att explodera - växa snabbare och snabbare. Detta innebär att:
tenderar mot !
Men vad händer om gränsvärdet är ? Det kan vi inte säga. Som vi har sett tidigare:
är , medan:
antar något värde. Så kvotkriteriet är inte som en teori om allt, och du måste använda det med försiktighet.
Exempel 1
Med hjälp av kvotkriteriet kan vi se om serien:
kommer att konvergera. Beräkna först gränsvärdet:
Således kommer serien att konvergera enligt kvotkriteriet.
Exempel 2
Använd kvotkriteriet för att om serien nedan divergerar eller konvergerar.
Kvotkriteriet utförs enligt följande:
Därefter multiplicerar vi både täljare och nämnare med k:
Efter detta delar vi både täljare och nämnare med k:
Gränsvärdet blir 1 och därför kan vi inte dra slutsatsen om serierna konvergerar eller divergerar.
Olikhetstest för serier
En -serie är en där termerna består av dividerat med indexet upphöjt till någon potens :
Ett specialfall av en -serie är när , som är känd som den harmoniska serien och ser ut som följer:
Den harmoniska serien är ett specialfall av en -serie, och den divergerar till
Det finns en mycket enkel teknik som vi kan använda för att avgöra om en -serie konvergerar eller divergerar, kallad -testet.
-testet
Serien:
konvergerar om , annars avviker det till .
Observera att övertonsserien, för vilken , därför divergerar till .
Exempel 1
För att avgöra om serien:
divergerar eller konvergerar, måste vi först jämföra summan med:
Detta är sant eftersom om vi gör nämnaren mindre så blir de bråken större. Alltså får vi:
Enligt -testet, då:
konvergerar. Eftersom denna serie alltid är större än eller lika med vår serie, kan vår serie inte divergera, så den måste konvergera.
Exempel 2
Serien:
avviker eftersom vi jämför vår summa med:
Vi har alltså följande:
Sedan serien:
alltid är mindre än eller lika med vår serie, måste vår serie divergera eftersom:
divergerar enligt -testet.
