Intro
Bernhard Riemann var tidigare en orolig pojke som led av en allvarlig brist på självförtroende. Han upplevde upprepade gånger nervösa sammanbrott och föraktade offentliga tal. Berömmelse var inget han längtade alls efter.
Han lät dock inte denna skygghet ta kontroll över hans liv och lyckades bli en berömd professor och föreläsare.
Hans sanna passion för jobbet låg dock inte i föreläsningsdelen, utan i att lösa matematiska problem. Detta visade sig också vara det som satte honom i det stora rampljuset.
Massiv uppmärksamhet gavs med rätta till honom efter att ha presenterat den första rigorösa formuleringen av integralen någonsin, baserad på konceptet Riemanns summa .
Koncept
Hur kan du uppskatta arean under en kurva?
Chansen är stor att du tänkte skära upp området i ett gäng rektanglar, eller kanske till trapetser. Det kan verka som en "grundläggande" metod, men den är väldigt robust!
Genom att summera rektanglarnas ytor får du en approximation av arean. Denna summa kallas - du gissade rätt - en Riemann-summa.
Summering
Riemanns summor är ett sätt att approximera integralen:
genom att dela upp intervallet i mindre bitar av bredd . Sedan kan vi approximera integralen genom att summera rektanglarna med bredden och höjden
Om en funktion råkar vara kontinuerlig på det stängda intervallet , så blir denna approximation exakt lika med integralen när vi tar gränsvärdet,
Riemannsummor
Så du har en rolig plastbit som ser ut som en parabel.
Nu vill du veta hur mycket den väger. Helt plötsligt säger en röst från ovan att plastbiten väger gram per cm . Så allt handlar om att beräkna plastens yta, egentligen.
Okej men hur?
Först hittar du en funktion som beskriver formen på plastbiten. Föreställ dig nu att du tar ett svärd och skär upp plastbiten till små rektanglar, så här:
Sedan kan du approximera arean genom att lägga ihop rektanglarnas area. Och detta, mina vänner, är en Riemann summa.
Uppskattningen av området är en Riemann summa
Eftersom du är lite klumpig, är varje rektangel inte nödvändigtvis lika bred. Men du kan fortfarande uppskatta området med alla dessa rektanglar. När det gäller höjden kan du välja valfritt -värde mellan rektangelns kanter och använda . Jag menar, bredden på varje rektangel är redan ganska liten, så vem bryr sig om vilken du väljer? Formellt skulle du approximera området med ett uttryck som detta:
där är mellan och , och är bredden. Här är och den minsta och största på intervallet vi approximerar.
När bredden på alla rektanglar minskar, blir din approximation bättre och bättre. Genom att ta gränsvärdet då bredden går till - får du en integral. Detta är i stort sett definitionen av en integral. I det här fallet kommer din integral ut att vara:
Vikten av plastbiten är således:
och precis så är vi klara!
Övre och undre begränsningar
Du får skjuts till skolan av din mamma. Låt oss säga att du vill veta bromssträckan när bilen stannar framför ett rött ljus. Frågor om bromssträckor dyker upp hela tiden på körkortsprovet, så det här kan faktiskt ha en viss praktisk betydelse.
Du vill inte fastna i fysikens regler och försöka konstruera någon formel för hastigheten. Istället använder du ett praktiskt tillvägagångssätt.
Här är idén. Lägg ett öga på hastighetsmätaren var sekund. Eftersom du är supermänniska kan du komma ihåg alla dessa hastigheter. För att uppskatta avståndet tillryggalagt under dessa sekunder, multiplicera hastigheten med tiden. Lägg sedan ihop alla dessa avstånd.
Men du kan uppskatta avståndet på två sätt, som visas på bilderna.
Denna approximation, som består av staplarna ovanför grafen, kallas en övre summa. För att beräkna avståndet över det första intervallet använder du den högre hastigheten. Matematiker säger att den minsta övre summan kallas infimum av den övre summan.
Här är den undersumman. För att beräkna avståndet över det första intervallet använder du den mindre hastigheten. Detta kallas det högsta av den undersumman, vilket betyder den största undersumma.
Det faktiska avståndet ligger någonstans mellan den övre summan och den undersumman.
Efter att ha tagit en kopp kaffe är du piggare. Nu kan du komma ihåg hastigheten och utföra alla "hastighet gånger tid" multiplikationer för mindre tidsintervall, var sekund. Då minskar skillnaden mellan den övre summan och den undersumman . Om du inte kan få det högsta av någon övre summa att vara lika med infimumet för en undersumma, är funktionen inte integrerbar.
Idén med övre summor och undersummor sträcker sig till grafer som antar både positiva och negativa värden. Om funktionen motsvarar hastigheten, och -värdet är negativt, betyder det att du rör dig bakåt.
Här är den undersumman:
Och analogt, här är den övre summan:
Cauchys integralkriterie
Om är en monotont avtagande funktion, så har vi:
Säg att vi vill approximera arean under kurvan för en sådan funktion mellan två heltal och . Vi skulle kunna dela upp intervallet i delintervall med bredd , varefter vi konstruerar en övre summa på intervallet genom att alltid beakta den vänstra punkten i varje delintervall och en undersumma genom att ta de högra punkterna.
Eftersom den högra punkten i ett intervall är den vänstra punkten i nästa, är de enda två staplarna som inte kommer att inkluderas i båda summorna då den första i den övre summan och den sista i den nedre.
Nu kan den faktiska arean, erhållen genom att integrera , kapslas in av de två summorna enligt denna olikhet:
Även om det inte är omedelbart uppenbart, innebär detta följande:
Med ord kan vi klämma in en summa av monotont avtagande termer mellan två integraler. Detta koncept används för att bestämma konvergens av en serie i Cauchy-integraltestet .
Cauchy integraltest för serier
Cauchy-integraltestet
Låt vara en monotont avtagande funktion och låt vara ett heltal. Sedan serien:
konvergerar om:
konvergerar, och:
divergerar om:
divergerar.
Exempel 1
Bevisa att serien nedan skiljer sig åt:
För att ta reda på om serien divergerar, klämmer vi serien mellan två integraler:
Därefter studerar vi vår integral:
Vi finner då att:
Därför divergerar funktionen.
Exempel 2
Visa att serien nedan konvergerar.
Vi stänger in funktionen med hjälp av integraler:
Därefter utvärderar vi integralerna:
När vi gör det hittar vi följande:
vilket bevisar att serien måste konvergera.
Som vi såg i båda exemplen avgör integralernas konvergens eller divergens om serien konvergerar eller divergerar.
