Optimering

Innehållsförteckning

Intro

Medicinområdet har gjort stora framsteg de senaste åren när det gäller cancerbehandling. Även om den ännu inte är perfekt, har processen att bota patienter från sjukdomen på många sätt optimerats .

Med moderna maskininlärningstekniker kan medicinska team använda olika typer av bildbehandling för att skanna en patientvävnad för att upptäcka tumörer.

En avgörande del av algoritmerna för datorseende som används för att diagnostisera patienter från bilder är att maximera programmets sannolikhet att hitta cancerceller, samtidigt som riskerna för att göra felaktiga förutsägelser minimeras .

Efter diagnos kommer en annan typ av optimering in i bilden då det är dags att bli av med tumören.

För framgångsrik strålbehandling är det viktigt att balansera mängden strålning för att vara effektiv för att döda de maligna cellerna, samtidigt som den inte överskrider en övergripande ohälsosam nivå.

Koncept

Funktioner används överallt. De används inom ekonomi, fysik, samhällsvetenskap etc. Men funktioner är inte så speciella i sig. De är bara regler som tilldelar utdata till indata .

Men om vi vet hur en funktion ser ut, och vi känner till vår grundläggande matematisk analys, kanske vi kan hitta max och minimum för en funktion. Nu är det verkligen användbart. En företagare vill maximera intäkterna och minska kostnaderna. En fysiker vill maximera hastigheten och minimera energiförlusten. En datavetare vill maximera ett programs noggrannhet och minimera körtiden.

Matematisk analys låter oss hitta minima och maxima och avgöra om de är lokala, som , eller globala, som . Är detta minima det minsta möjliga minima? Om ja, så är det globalt.

Summering

Vi kommer att illustrera processen för att lösa optimeringsproblem genom att hitta maximivärdet för funktionen på intervallet .

Vi letar först efter kritiska punkter som uppfyller:

Dom är:

Därefter undersöker vi vilka av dessa som är lokala maxima , vilket vi kan göra genom att titta på teckentabellen för derivatan eller genom att studera andraderivatan.

Endast är ett lokalt maximum.

Slutligen, eftersom definieras på ett slutet intervall, måste vi undersöka ändpunkterna. Det globala maximumet är alltså antingen , eller .

I det här fallet är det globala maximum.

Optimeringsproblem

En av de användbara tillämpningarna av matematisk analys är att hitta den bästa möjliga lösningen på ett problem, ofta med vissa begränsningar. Det är vad optimering handlar om.

Från att maximera ett företags vinst, till att minimera risken för cancer vid exponering för strålning, är optimering ett användbart verktyg för förbättringar på olika fronter.

Att optimera är att minska kostnaden, och ett optimeringsproblem löses genom att definiera och minimera en kostnadsfunktion

Ett optimeringsproblem tenderar att bestå av två steg:

Att sätta upp en kostnadsfunktion utifrån mål och begränsningar.
Lösa problemet genom att minimera kostnadsfunktionen.

Ofta är den mest utmanande delen av ett optimeringsproblem att definiera det korrekt. Det är viktigt att ta hänsyn till all tillgänglig information och att använda den på rätt sätt när kostnadsfunktionen konstrueras. Det spelar ingen roll hur bra vi utför steg två om funktionen inte gäller problemet.

Kostnadsfunktionen härrör i allmänhet från orsakssambandet mellan en oberoende variabel och en kvantitet av intresse. Restriktioner till följd av någon typ av avvägning, där vi vill få ut det mesta av de begränsade resurserna som finns tillgängliga, kan ibland bakas in i kostnadsfunktionen. Andra gånger definierar begränsningar i termer av otillåtna värden ett intervall för den oberoende variabeln.

Att lösa problemet är analogt med att hitta ett extrema, nämligen det globala minimum för kostnadsfunktionen på intervallet. Det är här begreppet matematisk analys kommer in i bilden, där vi använder derivatan av kostnadsfunktionen för att hitta dess kritiska punkter.

Det finns två alternativ när det gäller att lokalisera det globala minimumet: det kan vara vid en kritisk punkt eller vid en av slutpunkterna.

Kostnadsfunktionen behöver inte representera en faktisk kostnad i termer av pengar, men namnet är korrekt genom att vi är ute efter dess lägsta värde på något intervall.

Även när det gäller att maximera en kvantitet, brukar vi göra den till en kostnadsfunktion genom att multiplicera den med . Det som tidigare var det högsta värdet blir nu det lägsta, och vår jakt på ett minimum börjar.

Exempel 1

En klassisk typ av optimeringsproblem är att konstruera den region som ger upphov till det största området för någon förutbestämd form med en begränsad omkrets. Tänk på följande fall:

En bonde vill bygga största möjliga hage för sin häst. För enkelhetens skull bestämmer hon sig för att göra den rektangulär. På grund av budgetbegränsningar kan bara 400 meter stängsel användas. Vilka mått ska hagen ha?

Lösning:

Först betraktar vi arean av en rektangel:

där är bredden och höjden.

Sedan, eftersom omkretsen inte kan överstiga stängslets totala längd, kan vi skriva i termer av som:

Ytfunktionen blir då:

Eftersom detta är ett fall av maximering, inverterar vi områdesfunktionen för att få kostnadsfunktionen:

Vi tar derivatan av kostnadsfunktionen och likställer den med noll för att hitta några kritiska punkter:

och vi inser att är den enda kritiska punkten för kostnadsfunktionen.

Nu har vi tävlande för bredden som minimerar kostnaden, en av dem är den kritiska punkten vi just hittat. De två sista är slutpunkterna. Eftersom omkretsen är och paddocken måste vara rektangulär, måste bredden vara mellan och , vilket kommer att vara våra slutpunkter.

Den lägsta kostnaden uppnås vid vår kritiska punkt , vilket kommer att maximera hagens yta.

Det tar hand om bredden, nu är det sista steget att hitta höjden på rektangeln:

Sammanfattningsvis kommer de optimala måtten att vara en fyrkantig hage med en sida på meter.

Exempel 2

Låt oss göra problemet lite mer utmanande. Uppgiften är i stort sett densamma, men den här gången lägger bonden till ytterligare ett villkor.

Hästen behöver tillgång till vatten, och därför vill bonden använda en flod på fastigheten på ett smart sätt och lägga de översta hörnen av hagen en bit ut i vattnet. Floden har samma form som kurvan för funktionen , där -axeln tas som en väg som inte kan ingå i hagen. Vilka mått bör hagen ha för att uppnå maximal yta i detta fall?

Lösning:

Vi vill hitta ett uttryck för det område som omges av staketet. Observera först att området i den första kvadranten ges av

Eftersom området består av två av dessa delar, ges den totala arean av hagen av:

Nu kan vi definiera vår kostnadsfunktion som:

Därefter hittar vi alla kritiska punkter genom att ta derivatan och sätta den till 0.

Eftersom negativa avstånd inte är meningsfulla är vi bara intresserade av den positiva lösningen. Således bör basen på hagen vara meter lång, och höjden blir meter.

Det sista vi måste kontrollera är att budgeten, som inte tillåter mer än 400 meter stängsel, inte överskrids: