Intro
Hur ser ingenjörer till att stora lastfartyg minimerar sin vattenmotstånd för att spara bränsle, eller ännu viktigare inte sjunker? För sådana frågor analyserar byggarna fartygets skrov för att hitta dess totala (våta) yta och centrum för flytkraft.
Detta involverar integraler, och ofta komplicerade sådana. Beroende på hur kroppen är designad kanske de inte ens har en exakt lösning. Som tur är har vi numeriska metoder till undsättning.
Förutom att rädda oss från att drunkna, är tekniker som Simpsons formel det som gör att Space X kan erbjuda skyttelservice till rymdstationer. Dessutom har sofistikerade numeriska metoder tillsammans med kraftfulla NVIDIA GPU:er gjort det möjligt för forskare vid University of Illinois att simulera levande celler.
Koncept
Vissa integraler, eller snarare, de flesta integraler, kan inte beräknas för hand. Och om integralen kan beräknas för hand kan beräkningen bli ganska lång.
Titta till exempel på den här:
Det finns inget sätt att du kommer att kunna beräkna detta för hand. De integrationsverktyg som vi täckte är till ingen nytta här.
Men integraler används i stort sett överallt. Vi är i desperat behov av ett verktyg för att approximera integraler.
Summering
Hittills har vi approximerat integraler med hjälp av rektanglar. Ett bättre sätt att approximera integraler är att använda trapetser istället för rektanglar.
Trapetserna är bara rektanglar plus en triangel på toppen. Arean av en trapets är basen gånger de två höjderna dividerat med två.
Till exempel kan integralen ovan approximeras med två trapetser:
Newtons metod
En mycket kort introduktion till numeriska metoder
Ibland är det löjligt svårt eller till och med omöjligt att använda de metoder vi har sett för att differentiera eller integrera.
Då behöver vi numeriska metoder. Dessa metoder använder en ändlig datauppsättning för att approximera en numerisk lösning på ett problem. Anteckningarna i detta avsnitt kommer att introducera ett urval av vanliga numeriska metoder. Så spänn fast och njut!
När vi använder en numerisk metod börjar vi ofta på något startvärde, vilket kan vara en välgrundad gissning. Sedan tar vi steg mot lösningen. Ju närmare det faktiska värdet vi behöver komma, desto fler steg måste vi ta. Det är upp till oss att välja hur nära vi behöver vara: priset vi betalar använder mer beräkningskraft.
Newton-Raphsons metod för att hitta rötter
Givet en funktion kan vi använda Newton-Raphsons metod eller, som den också kallas, Newton-Raphsons metod för att hitta dess rötter. Det kräver att funktionen är differentierbar och använder ekvationen för tangentlinjen för att hitta en rot.
Newton-Raphsons metod hittar rötter genom att upprepade gånger färdas längs tangentlinjer
Detta är metoden: vi börjar med att gissa att det finns en rot nära något värde . Vi ritar tangentlinjen vid . Därefter går vi en tur nerför tangentlinjen till -axeln och kallar detta nya värde .
Går vi rakt upp till funktionskurvan igen, upprepar vi proceduren och ritar tangentlinjen vid . Genom att glida nedför denna tangentlinje till -axeln hittar vi vad vi kallar .
Om vi fortsätter att upprepa denna procedur kan vi komma godtyckligt nära roten. Kolla upp det för :
Observera att här, när vi sätter ger:
Så länge vi väljer en lämplig utgångspunkt kan vi använda metoden för att hitta ett numeriskt värde för !
Metoden förklaras
Vi härleder metoden mer formellt med hjälp av ekvationen för tangentlinjen.
Kom ihåg att tangentlinjen till vid är:
Att glida nerför tangentlinjen motsvarar att plugga in punkten i tangentlinjeekvationen. Eftersom vi känner till , låter detta oss bestämma . Genom att blanda runt termer får vi:
Formeln följer samma mönster för alla efterföljande punkter. Detta är den allmänna formeln för Newton-Raphsons metod:
Faror
Metoden fungerar inte om antingen startpunkten eller någon punkt mellan start och rot är en kritisk punkt. Eftersom formeln har derivatan av den aktuella punkten i nämnaren, skulle detta innebära att dividera med noll, vilket är stort nej.
Vi kan också få problem om funktionen har vertikala asymptoter: det finns inget sätt vi kan hoppa över ett sådant gap med Newton-Raphsons metod. I allmänhet är det en bra idé att använda en första gissning som är så nära roten vi söker som möjligt.
Om ovanstående misstag undviks, så länge som är kontinuerlig nära roten och att gränsvärdet för serien av approximationer existerar, då blir metoden din ödmjuka tjänare.
Trapetsregeln
Integraler kan vara riktigt komplexa. Det finns några hack för att beräkna integraler, som -substitution och partialbråksuppdelning, men båda dessa hack kan involvera mödosamma beräkningar. För att beräkna en integral som:
då kan du mycket väl behöva flera pappersark. Och du kommer inte få något vackert uttryck. Istället kommer du att få en blandning av och . Usch.
När du gör dina beräkningar, som den flitig student du är, vet du inte ens om du kommer att hitta en lösning. Det är ganska deprimerande. Speciellt i en tentasituation. Vissa integraler, som:
kan inte lösas med de metoder som behandlas i denna kurs.
Men integraler är superviktiga! De används överallt: inom finans, biologi, fysik etc. Integraler är en integrerad del av den moderna världen.
Vi måste kunna beräkna komplexa integraler på något sätt, även okonventionella metoder är tillåtna. Den mest grundläggande metoden för att beräkna integraler är trapetsregeln.
Titta på bilden ovan. Integralen kan approximeras av det skuggade området ,
För att göra vår uppskattning mer korrekt, låt oss använda samma resonemang i flera intervall. Eftersom mittpunkterna summeras flera gånger, slutar vi med:
Simpsons regel
Varför behöver vi Simpsons formel?
Tycker du inte att trapetsregeln är typ... grundläggande? Du skär upp integralen till trapetser och summerar deras yta. Det var allt. Det är det mest grundläggande sättet att approximera en integral, egentligen. Kunde inte alla dessa smarta matematiker hitta på något roligare? Trapetsregeln är lite som pastapesto, utan ost eller pinjenötter. Basic, eller hur?
Trapetsregeln fungerar, men den konvergerar långsamt mot rätt värde. Du måste minska steglängden med en hel del för en markant förbättring av noggrannheten. Det betyder att du behöver fler funktionsutvärderingar.
Om du har begränsad beräkningskraft och behöver spetsprecision, kommer trapetsregeln inte att räcka. Naturligtvis finns det inget som hindrar dig från att ställa in steglängden till . Men dina barnbarn kommer att ha dött när din dator är klar. Eller så kanske datorn exploderar eller något.
Som aktiemäklare, låt oss säga att du skulle vilja beräkna en hemsk integral. Integralen ger det förväntade värdet av vissa aktier, så det är mycket som står på spel. Istället för att använda trapetsregeln är det bättre att använda Simpsons formel.
Okej, men vad är Simpsons formel?
Tanken här är att approximera funktionen med ett andragradspolynom. Då är integralen för polynomet den ursprungliga integralen och du skulle få approximationen
Låt oss nu skära upp -axeln och använda Simpsons formel på varje liten bit. Lägg märke till att mittpunkten, multipliceras med . När vi summerar alla multipliceras ändpunkterna med , förutom de yttersta ändpunkterna. Hela integralen kan approximeras med summan av varje approximation. Formellt får vi:
Ovan antog vi att n var jämnt, för att kunna skriva vår summa på ett tydligt sätt.
Detta är en allt mer exakt uppskattning. Nu är du redo att gå iväg och handla aktier!
