Naturliga logaritmen - en historisk händelse
Tog Jesus med sig det heliga döljet till graven?
Linnelakanet som föreställer en mans ansikte är också känt som Turins hölje , där det har bevarats sedan 1578.
Under många år har det pågått en debatt om det här var tygstycket som Jesus lindades in i efter att ha blivit korsfäst.
Tvisten tog en stor vändning 1988 när forskare visade att föremålet inte tillverkades förrän minst 1200 år efter Jesu födelse.
För att bevisa detta användes en metod som kallas radiokoldatering, som gör en smart användning av naturliga logaritmer .
Naturliga logaritmen - kol-14 metoden
Kol-14 är en form av kol som finns i allt levande.
Men när en organism dör börjar detta radioaktiva element att förfalla med tiden.
Därför, genom att mäta mängden kol-14 som finns i ett dött föremål, berättar radiokoldatering oss hur länge sedan organismen dog.
Detta sönderfall är exponentiellt , vilket betyder att minskningshastigheten beror på den nuvarande mängden kvar.
Naturliga logaritmer löser problem där kvantiteter ändras med hastigheter proportionella mot deras nuvarande värde
I fallet med det heliga döljet var linnetyget förr levande linväxter, och vi kan låta representera tiden som har gått sedan de skördades.
Medan exponentialfunktionen talar om för oss hur mycket kol-14 som finns kvar åt gången , svarar den naturliga logaritmen på frågan: "Med tanke på mängden kol-14 som finns kvar, vad är ?"
Definitionen av naturliga logaritmen
Den naturliga logaritmen är den logaritmfunktionen med basen :
där är Eulers tal.
Med andra ord, det är inversen av exponentialfunktionen :
Problem med exponentiell tillväxt eller förfall som beror på tid kan modelleras med funktionen:
där är en konstant som är positiv om mängden ökar och negativ om den minskar.
För kol-14, om vi mäter i år, sedan genom att använda följande ekvation:
får vi andelen kol-14 som finns kvar sedan föremålet dog.
Härifrån kan vi använda den naturliga logaritmen för att hitta genom att mäta nivån av kol-14.
Till exempel, om nivån är jämfört med en levande motsvarighet:
Detta skulle innebära att organismen dog för cirka 5730 år sedan.
Exponentialfunktionen
Det finns några siffror i matematik som är mer älskade än andra. Det ena är talet , även kallat Eulers nummer.
En exponentialfunktion ser ut så här:
Den mest användbara är , och vi hänvisar till den som exponentialfunktionen . Det dyker upp överallt när man talar om naturlig tillväxt. Ibland kommer du att se den betecknad som .
Hur kan vi definiera denna funktion? Siffran , men decimalerna fortsätter faktiskt för evigt så det känns inte som att borde vara väldigt vackert. Det visar sig dock vara ganska snyggt.
Låt oss titta på ett exempel. Säg att din bank erbjuder en ökning med gånger pengarna om du har dem på banken i ett år.
Antag vidare att om du håller pengarna i ett halvår på banken ger dig en ränta på , och så vidare under kortare perioder.
Att sedan behålla pengarna i ett år skulle ge dig:
gånger vad du satte in. Att ta ut pengarna halvvägs genom året och sätta in det nya beloppet direkt skulle ge dig:
gånger det ursprungliga beloppet. Det är mycket mer!
Om du väljer att ta ut pengarna och lägga tillbaka dem varje dag på året, skulle du ha så här många gånger pengarna i slutet av året:
Vi kallar detta en binomialsumma. När man skriver ut alla termer måste man multiplicera varje term från var och en av parenteserna tillsammans . På så sätt får du massor av extra grejer, jämfört med om du bara tog ut pengarna två eller tre gånger.
Om du gör tidsperioderna ännu kortare skulle du sluta med:
gånger det ursprungliga beloppet. Som du kanske har gissat lägger detta till ännu fler termer till summan, som alltså fortsätter att växa. Slutligen, med gränsvärdet för uttrycket ovan, resulterar det i vår definition av :
En sidoanteckning: banksystemet har ett inbyggt skydd mot den typ av handel som beskrivs ovan. Så för att bli rik rekommenderas inte denna metod. Men exponentiell tillväxt (med olika konstanter framför) beskriver realistiskt fenomen som spänner över bakterietillväxt, datorers processorkraft, kärnreaktioner och mycket mer.
Exponentialfunktionens egenskaper
Exponentialfunktionen är särskilt intressant på grund av några egenskaper som kommer att förtydligas senare i denna kurs. Men ibland behöver vi också exponentialfunktioner med en annan bas :
Vi kommer att ägna det här avsnittet åt att ange några regler för denna typ av funktion. De kan tyckas många, men de är mycket användbara, så ge dem en stunds övervägande innan du går vidare.
Exponentialfunktionerna kan delas upp i två kategorier:
Den första typen med och kan ses nedan:
Funktioner med basen går till oändligheten eftersom går till och till när går till oändlighet.
Om vi istället låter och får vi denna form:
Om går funktionen till oändlighet eftersom går till oändlighet, och till som går till negativ oändlighet.
Olika värden på
Oavsett bas följer alla exponentialfunktioner samma mönster med avseende på vissa regler.
Följande egenskaper relaterar till olika värden på exponenten:
1)
2)
3)
4)
Den andra regeln innebär att alla exponentiella grafer kommer att passera genom punkten .
Regler för flera exponenter eller baser
Låt och och låt och vara reella tal. Då gäller följande regler:
Med dessa i fickan är du redo att hantera exponentiella beräkningar.
Logaritmer
När du ska äta upptäcker du att din pasta carbonara har blivit förstörd. Det hela är täckt med mögel. Ändå höll du den bara i kylen i ett par dagar!
Mögel växer snabbt. Om du börjar med en mögelklump kan du ha ungefär två mögelklumpar nästa dag. Följande dag har båda mögelklumparna växt, och det startar en ond cirkel.
Om arean av mögel ökar med en faktor på varje dag, kan den totala arean beräknas som
Här är antalet dagar.
är ditt lyckotal, så du försöker beräkna när formen kommer att täcka cm . Så du stöter på ekvationen:
Du suckar förtvivlad. Hur ska man lösa den här typen av ekvationer? När du kopplar in ekvationen till Wolfram Alpha får du:
Vad betyder här? -logaritmen för , betecknad , svarar på frågan:
- vilken potens av är lika ? Det går vanligtvis inte att beräkna för hand.
Logaritmen kan också ses som den inversfunktionen av exponentialfunktionen . Om:
sedan:
I allmänhet kräver vi att och .
Här är graferna för och :
Det finns en handfull logaritmregler, som alla är värda att memorera. Här är de i all ära:
Naturliga logaritmen
När du läser detta känner du plötsligt för att dricka Earl Grey-te. Efter att ha kokat vattnet och hällt det i koppen går du iväg för att fortsätta läsa.
Du måste vänta ett tag tills vattnet svalnar, annars bränner du tungan. Kom ihåg att när du väl försökte dricka teet kort efter att du hade kokat vattnet och din tunga täcktes av vita blåsor...
Den här gången vill du vara säker på att teet inte är för varmt. En snabb sökning på Google visar att den idealiska tedrickstemperaturen är 57°C. Men hur länge ska man vänta?
Temperaturen minskar snabbare när teet är varmt. Du får något sånt här:
Här är tiden som har gått sedan du hällde i vattnet. är temperaturen i rummet, runt °C.
Som det visar sig är detta förhållande uppfyllt om:
där och är konstanter. Eftersom , . För enkelhetens skull antar vi att den andra konstanten bara är . Detta är allt vi behöver för att beräkna tiden.
Okej, här har vi fastnat. Vi måste använda något annat för att lösa den här typen av ekvationer: nämligen den naturliga logaritmen.
Den naturliga logaritmen för ett tal , skrivet , svarar på frågan till vad, är lika ? Därför är . Det är också den inversfunktionen av .
Tillbaka till vårt exempel då:
Vi slutar med timmar, eller ungefär minuter. Vårt val av konstanten, , innebar förmodligen att vår kopp hade någon isolerande beläggning.
Här är graferna för och :
Den naturliga logaritmen tillåter oss att lösa en rad nya problem. Med den naturliga logaritmen kan vi också skriva om vilken exponentialfunktion som helst, så här:
Hyperboliska funktioner
En av de många praktiska användningarna av exponentialfunktionen är att definiera en speciell grupp av funktioner, känd som hyperboliska funktioner :
Hyperbolisk cosinus:
Hyperbolisk sinus:
Hyperbolisk tangens:
Namnen på funktionerna, liksom relationerna mellan dem, antyder likheterna med de trigonometriska funktionerna.
Sanningen är att trots att de ser ganska olika ut till en början har dessa funktioner mycket gemensamt med sina respektive trigonometriska motsvarigheter.
Enligt våra definitioner är det trivialt att bevisa följande hyperboliska identitet:
Bevis :
Ekvationen liknar den trigonometriska identiteten:
Det negativa tecknet mellan de två uttrycken gör dock enhetshyperbel till objektet som förbinder och snarare än enhetscirkeln som för och
Graferna för de tre hyperboliska funktionerna vi har definierat ser ut som följer:
Dessa funktioner förekommer naturligt i olika situationer omkring oss. Till exempel kommer en enhetlig fritt hängande tråd fäst i två ändar att följa kurvan för en hyperbolisk cosinusfunktion.
Föreställ dig en klädstreck. Direkt efter tvätt kommer de våta tunga kläderna att tynga ner linjen och störa dess form. När kläderna torkar och blir ljusare kommer linjen att likna en hyperbolisk cosinusfunktion bättre och bättre.
