Kontinuitet

Som ett informellt men intuitivt sätt att beskriva kontinuitet kan vi tänka oss en kontinuerlig funktion som en funktion som kan ritas utan att lyfta pennan.

Detta målar inte upp hela bilden, och vi måste också komma ihåg att alla figurer vi kan rita utan att lyfta pennan inte är funktioner. Ändå kan detta kriterium hjälpa oss att avgöra vilka punkter som gör en funktion diskontinuerlig.

Men för att sätta begreppet kontinuitet i den rigorösa ramen för matematisk analys måste vi ange en mer formell definition:

För att det andra kriteriet ska gälla har vi att måste närma sig samma värde när närmar sig från både ovan och under.

Dessutom, för att uppfylla de andra två, måste detta tal vara funktionens värde vid , som sedan måste definieras.

För att se hur kontinuitet på punkter ser ut i praktiken, låt oss titta på ett par exempel:

Titta på funktionen:

vid punkten .

Eftersom division är odefinierad för 0 som nämnare, är inte definierad. Dessutom med tanke på att:

medan:

Det finns ingen gränsvärde för eftersom går till .

Följaktligen är inget av de tre kriterierna uppfyllt, och vi drar slutsatsen att är diskontinuerlig vid . Som en sidoanteckning är funktionen kontinuerlig för alla andra värden på .

Låt oss nu titta på en annan funktion, vid en annan punkt :

Uppenbarligen är definierad till och så det första kriteriet är uppfyllt. Men även här är gränsvärdena för funktionen olika eftersom närmar sig uppifrån och underifrån.

Därför,

existerar inte, vilket bryter det andra av kraven och gör diskontinuerlig vid .

Det är på tiden att vi nu tittar på en funktion som är kontinuerlig på alla punkter i :

Vi kommer att överväga det vid punkten , där kontinuitet kanske inte är uppenbar.

För det första, , så funktionen är definierad för denna punkt.

För det andra:

ger oss existensen av gränsvärdet vid punkten.

Slutligen finns gränsvärdet inte bara vid punkten, utan råkar också vara densamma som funktionens värde:

När alla tre kriterierna är uppfyllda drar vi slutsatsen att är kontinuerlig vid .

En funktion är kontinuerlig i en punkt om gränsvärdet när närmar sig sammanfaller med funktionsvärdet, det vill säga:

Antag att funktionen är kontinuerlig i . Okej, så vad?

De flesta satser om kontinuerliga funktioner kräver att funktionen är kontinuerlig på ett intervall.

Det faktum att är kontinuerlig i är inte så användbart i sig. Det är dock en del av definitionen av kontinuitet på ett intervall.

Funktionen är kontinuerlig , som helhet, om den är kontinuerlig på alla punkter som den är definierad för.

Nu övergår vi till frågan om vilka funktioner som är kontinuerliga.

De grundläggande funktionerna är alla kontinuerliga. De inkluderar:

Som en tumregel kommer vad du än gör med funktionerna ovan att ge en kontinuerlig funktion.

Hur mycket du än försöker - summera, dividera, böja och vrida - kommer du inte att kunna sätta ihop en diskontinuerlig funktion.

Observera att det finns ett undantag från regeln ovan, och det är när vi har en funktion som är noll någonstans på -axeln, då kommer den funktionen att orsaka en diskontinuitet vid den .

Det visar sig att:

är alla kontinuerliga.

Genom att använda dessa regler kan du se att en monstruös funktion som

är kontinuerlig.

Kontinuerliga funktioner är praktiska. Många satser som är till hjälp för att hantera funktioner kräver att funktionen är kontinuerlig, annars kan det ge ganska konstiga resultat.

Därför, om en funktion är odefinierad vid en punkt, vill vi ibland modifiera den så att den blir kontinuerlig. Den modifierade funktionen är inte densamma, men för praktiska ändamål kanske det inte spelar någon roll.

Som ett exempel, låt oss återbesöka en vän:

Denna funktion är kontinuerlig överallt, förutom vid .

Vi kan utöka funktionsdefinitionen till att vara:

Då är kontinuerlig, och vi är fria att använda till exempel mellanvärdessatsen och satsen om största och minsta värde när vi har att göra med funktionen!

Kolla in denna funktionsgraf:

Låt oss säga att funktionen bara är definierad på det slutna intervallet .

Genom att titta på grafen drar vi slutsatsen att funktionen har ett maxvärde på och ett lägsta värde på .

Med andra ord finns det ett maxvärde och ett minimivärde.

Förutsättningarna är viktiga. De är inte bara några tekniska detaljer som någon matematiker kom på för att irritera studenterna.

Först måste intervallet stängas. Ta funktionen , definierad på det öppna intervallet .

Det finns inget maximum, eftersom vi alltid kan flytta ett litet steg åt höger för att öka funktionsvärdet. På samma sätt finns det inget minimum.

För det andra måste funktionen vara kontinuerlig. Säg hej till vår gamla vän

Även om vi betraktar ett stängt intervall, som , finns det inget maximum, inte heller något minimum.

Funktionsgrafen blir lite galen runt , sedan

I den här kursen behandlar vi mest funktioner som är kontinuerliga på nästan hela deras definitionsmängd (dvs. deras tillåtna indata ).

Idag ska vi titta på ett mycket snyggt teorem som bara kan användas för kontinuerliga funktioner. Det kallas för mellanvärdessatsen, och informellt uttryckt står det:

Om är mindre än och är större än , då någonstans i intervallet .

Att försöka med ett penndrag komma från till i grafen nedan kan övertyga dig om detta faktum.

Säg att vi har en funktion som denna:

Var kan vi hitta dess rötter? Eller, uttryckt annorlunda, var skär dess graf -axeln?

Med hjälp av mellanvärdessatsen kan vi svara på denna fråga. Använd bara .

Kanske har du hört att det inte finns någon effektiv analysmetod för att lösa polynom av högre grad. Så fort det dyker upp en eller något ännu värre i ett polynom, måste vi använda vår speciella verktygslåda med trick. Dessa knep fungerar bara i vissa fall.

Men vi kan alltid lösa en polynomekvation numeriskt. En numerisk lösning är en approximation, som ofta hittas genom att man tar stegvisa steg mot ett tillräckligt bra svar.

I det här fallet råkar jag veta att vid , och att vid , .

Eftersom funktionen är kontinuerlig vet vi att grafen måste ta sig från till i intervallet .

Så det måste finnas minst en rot i detta intervall!

Att hitta en rot kan göras genom att halvera intervallet och, varje gång vi halverar det, kontrollera vilket intervall som har ett -värde under noll och vilket som har över noll. Ganska praktiskt, eller hur?

Slutligen är vi redo för satsen:

Observera att det är ännu starkare än vad vi har sagt hittills: satsen lovar att alla värden mellan och kommer att uppnås.