Intro
Eratosthenes (född 276 f.Kr.) är känd för sin uppskattning av jordens omkrets.
Han observerade att skuggan av två poler inte var lika lång i Cyrene som i Alexandria, städer åtskilda av km.
För att räkna ut jordens omkrets var han tvungen att mäta följande vinkel.
Erastothenes var en smart kille, men han använde en stav som mått. Om han hade använt invers trigonometrisk funktioner, skulle svaret ha varit mer exakt.
Koncept
Här är enhetscirkeln:
En trigonometrisk funktion kan ses som en linje från origo till bågen. Omvänt tar den inversa trigonometriska funktionen dig tillbaka till origo.
Om vi matar en inversfunktion med ett värde, kommer den att spotta ut en vinkel
Varje trigonometrisk funktion har en invers trigonometrisk funktion:
och
och
och
Summering
Invers trigonometrisk funktioner är inversfunktioner. Detta ger:
Liknande relationer gäller för och .
Observera att för flera värden på . Om matas, vet inte om , eller ska returneras.
Vi måste specificera att , annars kommer att vara i ett förvirrat tillstånd. I allmänhet är och endast definierade på intervallet .
Deras äldre syskon är väldefinierat på .
Inversa trigonometriska funktioner
Det har varit ett strömavbrott. Du äger inte en vanlig klocka, så du vet inte vad klockan är.
Eftersom du har arbetsintervju klockan 11:00 behöver du ta reda på vad klockan är. Eftersom dina grannar är lite konstiga vill du helst inte fråga dem.
Istället går du ut och tittar på skuggan från trädet. Låt oss anta att solen flyttar radianer på timmar, med start vid radianer vid midnatt. Om du kan räkna ut vinkeln kan du uppskatta tiden.
Du uppskattar att trädet är m högt och skuggan till m. Men vad är vinkeln ?
Bara för att sammanfatta: vi vet att . Om du använder din batteridrivna kalkylator och skriver in får du radianer. Det här är ! Eftersom är klockan cirka 08:40.
är en invers trigonometrisk funktion. Det skrivs också , eftersom det är den inversfunktionen av .
Givet ett värde producerat av , returnerar vinkeln vi matade med
På samma sätt finns och .
Betingelser
För att den inversfunktionen ska vara väldefinierad måste den ursprungliga funktionen vara bijektiv. Om vi till exempel vet att och , ska utdata eller ? Om kan vara vilket värde som helst, finns det inget sätt att veta. Då är inte bijektiv.
Således, för att göra saker enkelt, returnerar bara värden inom intervallet till . Den accepterar endast indata mellan till . Till exempel, det finns ingen vinkel så att . Om vi matar värdet , kommer funktionen att ge ett fel!
På liknande sätt returnerar värden inom intervallet till . Vi behöver också att är mellan och .
kan returnera värden från till , men den accepterar alla typer av indata . Anledningen är att antar alla värden från till . Därför är det alltid möjligt att hitta en vinkel som, skickad till , ger ett värde .
Derivator
Här är derivatorna för de invers trigonometrisk funktionerna. De är definitivt värda att memorera.
