Intro
Under andra världskriget krypterade tyskarna sina meddelanden med en maskin som kallas Enigma .
Denna maskin förlitade sig på förvrängning och tilldelade varje bokstav i meddelandet en annan bokstav. På så sätt förvrängdes det ursprungliga meddelandet till ett chiffrerat meddelande.
I Enigma tilldelades varje bokstav automatiskt en ny bokstav, vilket gjorde chifferet svårare att bryta.
Men, inspirerad av några polackers arbete, uppfann brittiska kryptologer så småningom en maskin för att hitta inställningarna för Enigma.
Att bryta Enigma-koden, som var avgörande för krigets utgång, innebar att man konstruerade en inversfunktion.
Koncept
Enigma fungerar som en funktion: den tar ett meddelande som indata, förvränger det och spottar ut ett kodat meddelande.
När de hittade inställningarna för Enigma fann de brittiska kryptologerna i huvudsak den inversfunktion av Enigma, vilket vänder på krypteringen.
Den Inversfunktionen upphäver effekten av den ursprungliga funktionen
Inversfunktioner gör att vi kan utföra motsvarande kontroll-Z på en PC. De berättar för oss vilket värde vi matade med den ursprungliga funktionen för att erhålla just den utdata.
Summering
Kom ihåg att en funktion kan ses som en svart låda, som tar in en indata och spottar ut exakt en utdata.
Ibland blir vi ombedda att hitta indatat, givet utdatat - för att bryta koden.
Om den ursprungliga funktionen kallas , dess invers dubbas .
Så:
Alla funktioner är dock inte inverterbara .
Till exempel, om spottar ut , finns det inget sätt att veta om är eller .
Bijektiv funktion
I den här anteckningen kommer vi att introducera ett gäng viktiga termer. Så spänn fast säkerhetsbältet, så kör vi!
En funktion är inte bara ett algebraiskt uttryck, som . Till exempel är för alla reella tal inte detsamma som för . Reglerna är inte identiska. Vi behöver en ny terminologi för att beskriva vad som skiljer från .
-värdena som vi kan mata funktionen utgör definitionsmängd . I exemplet ovan har och definitionsmängder och . De är alltså inte identiska.
När vi matar funktionen med värdena från definitionsmängden ger den dig intervallet . Till exempel har alla positiva tal som sitt intervall och har intervallet . Värdena i intervallet är en del av en större "blob", målmängd . I matematisk analys brukar vi anta att målmängden består av alla reella tal, om så inte är fallet anger vi det generellt som en egenskap hos funktionen.
Injektivitet, surjektivitet, bijektivitet
Låt oss börja med idén om injektivitet. Om en funktion returnerar två olika utdata, måste vi ha matat den med två olika indata. En funktion är injektiv om två distinkta element i definitionsmängden paras ihop med två distinkta element i målmängden.
För att kontrollera om en funktion är injektiv, börja med att rita dess graf. Om du kan rita en horisontell linje som skär grafen vid mer än en punkt är funktionen inte injektiv.
Matematiker talar också om surjektivitet. Om, när du matar funktionen med alla värden från definitionsmängden, returnerar funktionen alla värden i målmängden, är funktionen surjektiv. Så en funktion är surjektiv om dess intervall är målmängden.
Nu till den sista (den här är inte så illa, så häng med!). En funktion är bijektiv om den är injektiv och surjektiv på en gång. På bilden nedan är varje prick i den vänstra blubben associerad med en annan prick i den högra blubben.
Exempel
Här är ett häpnadsväckande exempel.
Funktionen är varken injektiv eller surjektiv. kan bara anta positiva värden, eller hur? Dessutom, eftersom , kan det inte heller vara injektivt.
Genom att sätta målmängden till alla positiva värden blir surjektiv. Men det är fortfarande inte injektiv.
Om vi begränsar definitionsmängden till alla positiva värden blir injektiv. Om tilldelas varje värde ett unikt värde, .
Slutligen, om bara tar positiva indata och dess målmängd består av alla positiva värden, är det bijektivt.
Monton funktion
Vissa kvantiteter slutar aldrig att öka eller minska. Även om det ibland känns som att tiden går långsammare än vanligt, eller till och med står still, vet vi att det faktiskt inte gör det.
Istället fortsätter den att ticka på och ökar hela tiden i samma takt. Åtminstone i hur vi människor interagerar med tiden.
En monoton funktion är en funktion som aldrig bryter trenden att stiga eller falla. Vi tillåter i allmänhet att det förblir konstant, men om inte, säger vi att det är strikt monotont .
Monotonicitet
En funktion sägs vara monotont ökande om för varje , .
En funktion sägs vara monotont avtagande om för varje , .
En funktion är monoton om den är monotont ökande eller monotont avtagande.
För differentierbara funktioner kan monotoni ses i termer av icke-negativa eller icke-positiva derivator.
Derivatan av en monoton funktion byter aldrig tecken, men den får vara noll.
Observera att båda definitionerna tillåter likheten . Därför är konstantfunktionen både monotont ökande och monotont minskande.
Strikt monotoni
En funktion sägs vara strikt monotont ökande om för varje , .
En funktion sägs vara strikt monotont avtagande om för varje ,
En funktion är strikt monoton om den är strikt monotont ökande eller strikt monotont avtagande.
Ett exempel på en strikt monotont ökande funktion är exponentialfunktionen:
En gemensam egenskap för alla strikt monotona funktioner är att de är injektiva.
Inversfunktion
En funktion kan ses som en svart låda. Mata den med ett indata så kommer den att spotta ut ytterligare ett unikt värde. Vi kanske skulle vilja veta vilket värde vi matade funktionen.
Du vill bli rik, så du kan köra en Cadillac och åka till Bali två gånger om året.
Därmed skapar du en funktion för ditt totala sparande under ett år. Det tar dina månatliga besparingar som ett indata och spottar ut totalsumman . På så sätt kan du se räntesatseffekten.
Nu, om du vill att dina totala besparingar ska vara i slutet av året, måste du beräkna hur mycket du ska spara varje månad. Detta innebär att konstruera en inversfunktion. Att kunna lite matematik lönar sig!
Den Inversfunktionen av , betecknad med , tar utdatat från och spottar ut det ursprungliga värdet vi matade . Det ångrar liksom effekten av funktionen .
Det finns dock några varningar.
Tänk . Två -värden kan ge samma utdata. Så om vi matar till , kommer det att spotta ut . Därefter ber vi vår inversfunktion att returnera det ursprungliga -värdet. Men den inversfunktionen vet inte om den ska returnera eller , eftersom också är lika . Den Inversfunktionen kan inte returnera två eller fler värden - då skulle det inte vara en funktion!
I praktiken betyder det att funktionen måste vara bijektiv, vilket betyder att vi har den här typen av situation:
Rita en inversfunktion
För att rita funktionsgrafen för en inversfunktion, rita linjen . Rita inversfunktionen, så här:
I allmänhet är och symmetriska runt linjen .
Låt oss prova att rita den inversfunktionen av . Först klipper vi av grafen vid och . Då står vi kvar med en bijektiv funktion, som har en invers. Med samma teknik som ovan skulle du få något sånt här:
