Implicit derivering - ett praktiskt exempel
Ibland stöter vi på ekvationer som är helt intrasslade. Här faller det vanliga sättet att differentiera platt.
Men med hjälp av några geniala knep kan vi fortfarande studera hur variablerna förhåller sig.
Detta är användbart för att göra förutsägelser om prisutvecklingen på fria marknader. Till exempel, i en marknadsekonomi, bestäms priset på en vara av förhållandet mellan utbud och efterfrågan.
Det betyder att implicit differentiering är ett måste för en aktiemäklare!
Implicit derivering - ett exempel med enhetscirkeln
Ta en titt på enhetscirkeln, cirkeln med radien med centrum i origo och dess ekvation:
Det är inte en funktion i form av , eftersom nästan varje -värde motsvarar två -värden.
Vi vill dock inte begränsa oss till att bara använda differentiering på dessa typer av funktioner. Det kan ändå vara av intresse att göra differentiering på detta!
Som tur är har vi implicita derivator till vår hjälp.
Implicit derivering - ett räkneexempel
Låt oss återgå till ekvationen för enhetscirkeln från föregående bild. När vi försöker ta derivatan av y direkt, skriver vi om den som:
Men hur hanterar vi symbolen ? Det verkar finnas minst två derivator för samma !
Genom att använda implicita derivator kan vi hitta en derivata för varje -par, med som en funktion av både och , inte bara av .
Om vi fortsätter med exemplet med cirkeln hittar vi den implicita derivata genom att ta derivatan av vänster och höger sida:
Detta är den implicita derivata av enhetscirkeln.
Mer om implicit derivering
Implicita funktioner
Ibland kommer du att möta ekvationer som, hur du än vrider och vänder, är det inte möjligt att reda ut röran för att få formen . Vi kallar dem implicita funktioner.
I implicita funktioner är intrasslad
En implicit funktion är faktiskt en funktion i två variabler, och , som kan skrivas som:
För närvarande finns det ingen anledning att uppehålla sig vid vad en funktion av två variabler är. Det vi vill göra är differentiering.
Derivatan av enhetscirkeln
Låt oss återvända till cirkeln från inledningen till detta ämne. Den matematiska beskrivningen av enhetscirkeln är:
För att ta derivatan av detta försöker vi skriva det som en funktion av . Om vi flyttar till andra sidan och tar kvadratroten får vi det här resultatet:
Bortsett från -tecknet ser det här bra ut. Det verkar som om vi skulle få minst två derivator för samma indata . Anledningen till detta är att en cirkels ekvation inte är en funktion i en variabel.
Vilken otur. Men om vi inte kan komma direkt till lösningen kan vi kanske komma runt det?
Välkommen till scenen: den implicita derivata!
Knepet vi kommer att använda bygger på kedjeregeln. Låt . Observera att vi inte vet hur beror på , bara att de är relaterade på något sätt.
Vi hittar den implicita derivata enligt följande:
Kedjeregeln kommer in när man tar derivatan av .
Ta en titt på den slutliga ekvationen. Derivatan av beror både på och . För att veta cirkelns lutning måste vi alltså tillhandahålla ett koordinatpar .
Derivatan av en hyperbel
Ett annat exempel på en ekvation som orsakar stora problem när man försöker differentiera den är:
Detta kallas en hyperbel, och dess graf ser ut så här:
När du försöker skriva det som ser det inte snyggt ut:
Vi går vidare implicit istället. Genom att tillämpa samma metod som för cirkeln får vi:
Härleda Potensregeln
När vi pratade om differentieringsregler, utforskade vi Potensregeln:
Vid den tidpunkten pratade vi bara om det för heltal . Med den implicita derivata i vårt sinne ska vi visa att den är giltig för , givet Potensregeln med heltalsexponenter.
Låt , med . Vilket ger . Med derivatan av denna ekvation får vi:
Vi sammanfattar det som ett teorem.
Den Allmänna potensregeln
Tillämpningar av den implicita derivata
Den implicita derivata är avgörande för att kunna lösa en typ av ekvationer som kallas differentialekvationer . De beskriver hur en kvantitet relaterar till dess förändringshastighet, och vi kommer att ta upp dem senare.
