Gränsvärden

Gränsvärdet talar om för oss hur funktionen beter sig när vi fortsätter att ta steg närmare och närmare ett visst -värde.

Titta till exempel på funktionen .

När närmar sig tenderar funktionsvärdet till . Detta skrivs som

I det här fallet kommer att koppla in att ge dig gränsvärdet när närmar sig . Lätt, eller hur?

Detta fall är dock en lyx. Tänk på funktionen:

Funktionen är odefinierad för , eftersom vi inte kan dividera med . Att döma av funktionsdiagrammet verkar det som om:

Vad menar vi egentligen när vi säger "när närmar sig , tenderar funktionsvärdet till "? I symboler är detta:

Jo, detta betyder att funktionsvärdet kan komma väldigt nära om vi tar tillräckligt många steg mot på -axeln.

Och med "mycket nära " menar vi att faller inom den smala korridoren som visas nedan.

Antag nu att

Om du ger mig en liten korridor så hittar jag ett -värde nära nog så att passar. Det är bara att gå närmare .

Ta-da. Det är i grunden definitionen av ett gränsvärde.

Även för enkla funktioner är det ganska mödosamt att beräkna gränsvärden per definition.

Här är några regler för gränsvärden.

Dessutom finns det en regel för sammansättningen av gränsvärden.

I den sista satsen är allt vi har:

Värdet vi matar närmar sig , så vi säger faktiskt:

Gränsvärdet för en funktion , för något värde , är ett tal som låter oss veta hur funktionen beter sig när vi närmar oss .

Med det i åtanke kan vi prata om gränsvärdet för när vi rör oss mot från höger eller från vänster. Detta är vad som menas med ensidiga gränsvärden .

När vi rör oss mot från höger kallas också att närma oss från ovan , vilket vi betecknar med:

På samma sätt, när vi rör oss mot från vänster, säger vi att vi närmar oss underifrån :

I vissa fall är de två gränsvärden desamma, och vid andra tillfällen är de inte det.

Gränsvärden avslöjar ofta användbar information om en funktion vid en punkt där den är odefinierad.

Titta på följande funktion:

Vi kan vara frestade att förenkla uttrycket som:

När vi gör det måste vi vara försiktiga med att inte ta med punkten , där nämnaren skulle vara noll och funktionen odefinierad.

Även om funktionen inte har något värde precis vid , kan vi se att när närmar sig från båda sidor, närmar sig värdet på funktionen , och så:

eller bara:

Betrakta nu denna styckvis definierade funktion istället:

Här ser vi att:

medan

Eftersom:

då kan vi dra slutsatsen att gränsvärdet för inte existerar vid .

Vissa funktioner har egenskapen att när närmar sig oändligheten, tenderar till något värde .

Vi säger att gränsvärdet för när tenderar mot oändligheten är . Det är skrivet som:

Vad vi menar med detta kan illustreras som ett spel. Spelet är mellan dig och mig, och jag är förutbestämd att förlora.

Säg att vi har en funktion som har gränsvärdet , eftersom tenderar till . Jag börjar spelet med att ge dig en ganska smal korridor, parallell med -axeln och centrerad kring .

När du sedan går längs -axeln hittar du ett värde för vilket stannar inom korridoren för alla värden på större än denna .

Min tur igen, jag ska försöka göra det svårt och göra min korridor gånger smalare. Du fortsätter dock din resa längs -axeln och har inga problem att hitta en ny så att återigen, för alla längre till höger, stannar fint i min korridor.

Spelet kan fortsätta för evigt, men du kan alltid motverka min korridorbredd med ett större -värde och vinna omgången.

När det gäller gränsvärden vid en punkt, finns det några användbara regler för att beräkna gränsvärden vid oändlighet. De ges av följande teorem:

i måste väljas så att för varje .

Slutligen finns det en praktisk regel för gränsvärdet .

Denna sista sats kan se rörig ut till en början, så låt oss bryta ner den. Med utgångspunkt från insidan märker vi att vi i princip kopplar in ett slumpmässigt argument som tenderar till oändlighet till :

Så det vi faktiskt slutar med är bara:

Givet en funktion:

När närmar sig blir större och större - oändligt stor. Dess funktionsgraf skjuter iväg till oändligheten, så vi skriver:

Men vänta, är inte ett nummer. Hur ska vi förhålla oss till uttrycket ovan?

Låt oss spela ett spel. Jag ger dig ett nummer , du ger mig ett -värde så att . Redo?

Som uppvärmning ger jag dig . Du kontrar genom att ge mig . Lätt som en plätt.

Vad sägs om ? Använd bara .

Låt oss prova ett annat nummer. Jag säger . Tja, det är också lätt. Du kan bara använda . Vid det här laget ger jag upp.

Detta spel illustrerar vad vi menar med uttryck som

eller

Det betyder att vilket nummer jag än ger dig kan du alltid hitta en så att .

Det betyder att jag kommer att förlora och du kommer att vinna.

När det är möjligt tycker matematiker om att hitta beskrivande namn för satser. Till exempel finns det en satsen om håriga bollen och en lag för den omedvetna statistikern .

Det är dock svårt att slå satsen om två officerare och ett fyllo . (Ja, det här är verkligen ett namn för en sats!) Men det är mer allmänt känt under ett kortare alias, Instängningssatsen .

Så vad säger satsen?

Föreställ dig två poliser som eskorterar en berusad fånge mellan sig. De kör alla i samma hastighet.

Fången kan vackla mellan officerarna, men till ingen nytta. När båda poliserna kör till polisstationen hamnar även fången på polisstationen.

Denna idé är kärnan i Instängningssatsen.

I Instängningssatsen är analog med fången, medan de två officerarna motsvarar två begränsningsfunktioner.

Instängningssatsen kan också appliceras på gränsvärden vid oändlighet, som

Låt och vara två funktioner som tenderar till samma värde som närmar sig någon punkt .

Vad är då följande gränsvärde:

För uttryck som består av en funktion dividerad med en annan funktion, där de två tenderar mot samma värde som närmar sig någon punkt, kanske det inte är uppenbart vilket värde hela uttrycket tenderar mot.

Båda ekvationerna kan till exempel växa sig större och större eftersom tenderar mot oändligheten, men vilken av dem växer snabbare?

Denna fråga är ofta intressant för datavetare som studerar tidskomplexitet, där de syftar till att jämföra hastigheten hos olika algoritmer.

För att lösa detta problem finns det en handfull standardgränsvärden med kända värden som vi kan använda.

I grafen har och båda värdet , men för alla exponentialfunktion med en bas större än kommer exponentialen att växa snabbare än potensfunktionen i nämnaren.

Liksom i det förra exemplet spelar valet av bas för logaritmen och exponent för polynomet ingen roll. Den logaritmiska kurvan kommer alltid att plana ut och överskridas av polynomet.

Lägg märke till hur grafen för och följer varandra runt .