Första ordningens LDE

Differentialekvationer beskriver hur en funktion och dess förändringshastighet samverkar. De innehåller både själva funktionen och en eller flera av dess derivator.

En differentialekvation av första ordningen innehåller endast förstaderivator. Det är vad den första syftar på.

Den separerbara differentialekvationen i sin enklaste form kan se ut så här:

Det som gör det separerbart är att vi kan ordna det så att termerna och separeras och stannar på olika sidor av likhetstecknet.

Vi använder ofta istället för som variabel, eftersom differentialekvationer ofta beskriver tidsberoende system.

Detta är den generiska formen av en separerbar differentialekvation:

Låt oss närma oss matematiken från savannen.

Säg att vi har ett gäng gaseller. Kalla antalet gaseller . De äter gräs och förökar sig.

Vad händer med befolkningen när dagarna går?

Den enkla ekvationen från sista sidan med motsvarar en savann där gräset aldrig tar slut, och en reproduktionshastighet som är proportionell mot den nuvarande befolkningen:

är proportionalitetskonstanten.

Vi ska nu lösa ekvationen.

Kom ihåg att vi får separera differentialer. Med hjälp av detta ordnar vi om ekvationen till:

Därefter integrerar vi båda sidor.

Lägg märke till att vi kan låta konstanterna för båda obestämda integraler inkluderas i . När vi slutligen löser höjer vi till ekvationen:

kommer från att använda exponentiella regler och låta . Att bestämma kan göras om vi vet hur många gaseller det finns vid en viss tidpunkt .

Så länge det finns tillräckligt med gräs kan befolkningen fortsätta att växa så här, men om gräset växer för långsamt jämfört med att gasellerna äter upp det kommer befolkningen att sluta växa.

Likaså, om det är för många gaseller i början, efter en ovanligt gräsbevuxen period, kommer några att dö av svält när allt gräs äts upp. Befolkningskurvan kommer därmed att falla.

Detta system har därför en jämvikt, där antalet gaseller förblir konstant och lika med ett antal . Derivatan är noll vid jämvikten:

För att modellera detta mer realistiska system matematiskt måste vi justera ekvationen lite. Ta en titt på den här:

Lägg märke till hur, när närmar sig , blir derivatan mindre och mindre. Om är större än är derivatan negativ: populationen minskar.

Denna ekvation kan se skrämmande ut vid första anblicken. Men det går att separera också. Om du provar själv är ett tips:

Lösningen är...

Här är antalet gaseller vid tiden .

Denna modell används ofta för att modellera befolkningstillväxt. Ekvationen kallas den logistiska differentialekvationen .

Betrakta en differentialekvation av formen:

För att lösa det med obestämda integraler skulle vi vilja separera alla och i olika termer.

Om vi dividerar vänster sida med får vi bara , men vi tvingas dela höger sida med också, vilket ger oss en annan blandad term.

Utan något sätt att undvika denna blandning drar vi slutsatsen att ekvationen inte är separerbar, och vi behöver en alternativ metod för att lösa den.

Det visar sig att denna alternativa metod fortfarande kommer att vara liknande för ekvationer av denna form, och den kommer att involvera både obestämda integraler och produktregeln.

Om vi hittar en antiderivata till :

Då kallas en integrerande faktor, och en lösning på ekvationen kommer att ha formen:

Låt oss hoppa direkt in i ett exempel som använder denna metod, innan vi tittar på varför det fungerar, för de som är nyfikna.

En fabrik som ligger intill en sjö pumpar ut flytande avfall från sin produktion, bestående av vatten förorenat med 2 gram ( ) arsenik per liter ( ), rakt ut i sjön där det blandas med vattnet som finns redan där.

Under den första timmen hällde 1 liter avfall ut från fabriken, men verksamheten expanderar stadigt och varje timme ( ) pumpar den ut ytterligare en liter avfall i sjön jämfört med föregående timme. Blandat sjövatten lämnar i samma takt som fabriken tillför avfall genom en liten flod. Därför förblir sjöns volym konstant på en miljon liter.

Hur mycket arsenik kommer det att finnas i sjön timmar efter att fabriken togs i drift?

Lösning:

Låt vara mängden arsenik i sjön, mätt i gram, som funktion av tiden i timmar. Vi ser att arsenik kommer in i sjön i hastigheten:

och att föroreningen lämnar med en hastighet av:

Sedan ges hastigheten med vilken nivån ökar av:

Detta är inget annat än differentialekvationen vi nu måste lösa för att kunna svara på frågan. Lägg märke till att vi kan ordna om det till formen vi såg ovan:

Det första steget för att lösa ekvationen är att hitta den integrerande faktorn.

Kom ihåg att den integrerande faktorn kommer att ha formen , där är en antiderivata av .

Genom att Potensregeln baklänges finner vi att har formen:

där vi kan välja den enklaste med .

Nu närmar vi oss lösningen:

Om vi antar att sjön var helt fri från arsenik innan fabriken togs i drift, har vi det beynnelsevillkoret vi behöver för att fastställa :

då får vi och vi har hittat vår kompletta lösning som ger oss en funktion för mängden arsenik i sjön vid tidpunkten t, mät i gram:

För dem som undrar varför i hela friden integrerande faktorer fungerar för att lösa differentialekvationer som inte är separerbara, låt oss dissekera metoden.

Vi får en ekvation av formen:

Börja med att multiplicera den vänstra sidan av ekvationen med den integrerande faktorn vi definierade tidigare:

Vi märker sedan att enligt derivatan av exponentialer och kedjeregeln:

Så det vi hade kan skrivas som:

Kom ihåg att är derivatan av med avseende på , och uttryckets form bör ringa en klocka. I själva verket är det exakt vad produktregeln ger för:

Lägg märke till att allt vi gjorde var att multiplicera den vänstra sidan av den initiala ekvationen med , resten var bara att ordna om resultatet. Därför måste vi multiplicera med samma integrerande faktor till höger:

Om vi nu hittar den obestämda integralen av båda sidor får vi:

Genom att nu multiplicera båda sidor med får att visas ensam till vänster, och vi har hittat den allmänna formen för en lösning på vår differentialekvation:

Eftersom kan vara vilken konstant som helst, kan vi låta den vara lika med noll, vilket ger oss den enklaste av lösningarna: