Intro
1986 exploderade enhet 4 i kärnkraftverket i Tjernobyl. Olyckan förändrade livet för miljontals människor.
När explosionen inträffade släpptes stora mängder radioaktiva ämnen ut i luften och spred sig långt utanför Tjernobyls närhet. Dessa ämnen sönderfaller exponentiellt, men i mycket långsam takt. Till exempel, efter 24 000 år kommer det fortfarande att finnas kvar hälften av mängden plutonium-239.
Eftersom flera av ämnena är skadliga är det intressant att veta hur snabbt de sönderfaller. Forskare har kunnat fastställa de exponentiella kurvorna som beskriver denna process.
Att känna till förändringshastigheten, derivatan , av en sådan kurva låter oss förutsäga hur mycket som fortfarande kommer att finnas kvar någon gång senare i tiden.
Koncept
Låt oss säga att vi har en population av några otäcka bakterier, som fördubblas varje timme.
Funktionen som beskriver "fördubbling varje timme" är . Eftersom derivatan bara är förändringshastigheten, kan man känna sig benägen att säga att derivatan av en exponential är sig själv : när vi har fyra bakterier, nästa timme har de ökat med fyra, och så vidare.
Däremot begränsar sig derivatan inte till att ändras per timme. Genom att uppskatta den momentana förändringshastigheten genom att göra tidsintervallen oändligt små får vi ett något annat värde. Egentligen är derivatan av sig själv, gånger en konstant:
Detta gäller alla exponentialfunktioner. Matematikernas favorit är , för vilken denna konstant är , vilket gör funktionen och dess derivata identiska.
Summering
För att beräkna derivatan av exponentialfunktionen återgår vi till standardgränsvärden (de är mycket praktiska!). Med hjälp av definitionen av derivatan får vi:
Eftersom inte har några i sig, kan vi flytta den utanför gränsvärdet. Den Gränsvärdet kanske är bekant:
Så derivatan av är sig själv! Vi använder detta för att beräkna derivatorna av alla andra exponentialfunktioner.
Inversen av är , vars derivata kan hittas genom att låta . Det visar sig vara . Oroa dig inte om du inte har någon aning om varför; det nätta lilla beviset väntar i föreläsningsanteckningarna.
Derivator till exponentialfunktioner
Exponentialfunktionen har en mycket praktisk egenskap: den är sin egen derivata. Vi kommer att se hur vi kan använda detta för att differentiera någon exponentialfunktion.
Som vi såg i inledningen har alla exponentialfunktioner exponentiella derivator. Derivatan och funktionen har samma bas. Derivatan av en differentialfunktion ser alltså ut så här:
Skillnaden mellan exponentialfunktionerna derivator är konstanten som visas. För , .
Funktioner av typen dyker upp överallt, eftersom de är så behändiga att ha att göra med. Att är sin egen derivata innebär också att den är sin egen antiderivata. Det praktiska i detta kan knappast överskattas.
Härleda derivatan av
Snart ska vi ta en titt på hur vi kan omvandla till och därefter differentiera det. Först härleder vi derivatan av . Detta kan göras genom att använda en smart standardgränsvärde och definitionen av derivatan.
Om du känner dig skakig på egenskaperna hos exponentialfunktioner är det nu ett bra tillfälle att snabbt granska dem.
Så låt oss komma till det. Derivatan av härleds enligt följande:
Lägg märke till att inte har några i sig. Således kan vi flytta det till utanför gränsvärdet. Du kanske känner igen den återstående standardgränsvärde:
För att avsluta:
Derivatan av
Så, vad är det för konstant som visas framför när vi differentiera ?
Äntligen är det dags att avslöja dess sanna identitet. kommer från det faktum att vi kan skriva:
Lägg nu märke till att i exponenten har vi en inre funktion , där är en konstant.
Således, med hjälp av kedjeregeln, är den inre derivata som dyker ut bara , och vi får:
Där är det: , och:
Derivator till logaritmer
Antiderivator av
När vi studerade Potensregeln såg vi att:
Genom att tillämpa vår kunskap om antiderivator, ser vi att för har vi:
Detta fungerar alldeles utmärkt för alla potenser utom en, nämligen , vilket skulle ge en nämnare med värdet 0.
Å ena sidan är det logiskt att detta fall bryter den allmänna formen, med tanke på att derivatan av en konstant är noll och att .
Å andra sidan väcker det en spännande fråga. Vad blir en antiderivata av ?
Svaret kan komma som en överraskning, men med implicit differentiering kan vi bevisa att det är , den naturliga logaritmen av , som vi måste differentiera för att få .
Derivatan av logaritmer med valfri bas
Derivatan av logaritmfunktioner
Låt . Sedan , och så:
Att ordna om uttrycket och använda ger:
Derivatan av den naturliga logaritmen
Vi har bevisat derivatan av den logaritmfunktionen av vilken bas som helst. Låt oss nu undersöka vad som händer när vi har Eulers tal som bas ( ).
Följaktligen har vi löst mysteriet att hitta funktionen vars derivata är :
