Intro
Lägg en katt i en låda med lite radioaktivt material och en flaska gift. Lägg till en enhet som mäter radioaktivitet. Stäng lådan. Om förfall inträffar går kolven sönder och katten dör.
Detta är den mest kända illustrationen av kvantmekanik, och den föreslogs av fysikern Erwin Schrödinger.
Kruxet är: så länge vi håller lådan stängd, för allt vi vet, är katten både död och levande.
Och om vi skulle vilja veta något om katten, utan att öppna lådan ? Säg hej till Schrödinger-ekvationen, den viktigaste ekvationen inom kvantmekaniken. Det är en andra ordningens differentialekvation som används för att studera beteendet hos kvantpartiklar.
(En liten sidoanteckning: det avråds starkt från att prova kattexperimentet hemma.)
Koncept
Differentialekvationer handlar om att relatera kvantitet till förändring.
En differentialekvation av första ordningen innehåller variabler och deras förstaderivator. I andra ordningens differentialekvationer finns även andraderivator.
Som ett exempel är accelerationen den andraderivatan av positionen.
Schrödinger-ekvationen kan verka ganska rörig till en början, så låt oss börja med något mer påtagligt.
Låt oss säga att vi tappar en elefant från taket på en skyskrapa. Dess höjd från marken kommer att bero på tyngdkraften, som är proportionell mot dess acceleration. Det ger oss en andra ordningens differentialekvation.
Lösningen är ganska imponerande: det är inte bara ett tal, som för de ekvationer vi är vana vid. Det är en funktion som hela tiden beskriver dess position!
Summering
Detta är en allmän differentialekvation av andra ordningen, där och är några konstanter:
Vi löser detta genom att lösa en polynomialekvation i , som liknar differentialekvationen ovan:
Använd din favoritmetod för att lösa detta, om lösningarna och är reella och , då är lösningen till differentialekvationen:
Detta kan se ut som svart magi, men om du kopplar in den här lösningen till differentialekvationen kommer du att se att det är sant.
Andra ordningens linjära differentialekvationer
Vad är det?
Differentialekvationer är ekvationer som relaterar en kvantitet till dess derivata. Vi kommer ofta att kalla variabeln , eftersom många av applikationerna ligger inom området för tidsberoende system.
En andra ordningens linjär differentialekvation har den generiska formen:
Differentialekvationer kan till exempel användas för att räkna ut när du behöver fälla ut din fallskärm för att slippa slå riktigt hårt i marken.
Att kalla din vertikala position , skulle vara din hastighet och din acceleration.
Givet vissa data som vilka krafter som påverkar ditt fall, på vilken nivå från marken du hoppade och hur länge fallskärmen behöver vecklas ut, kan en lösning av differentialekvationen för fallskärmen berätta för dig på vilken höjd du kommer att vara vid en viss tidpunkt .
Komponenter och terminologi
Låt oss dissekera ekvationen och reda ut lite terminologi innan vi går på jakt efter lösningar.
Koefficienterna och kommer alltid att vara konstanta i denna kurs.
Termen andra ordningen i namnet syftar på den högsta ordningens derivata i ekvationen, vilket är i vårt fall. Det finns differentialekvationer av godtyckligt hög ordning där ute.
Lösningar
När den högra sidan är noll, säger vi att ekvationen är homogen :
Dess lösning kallas .
Däremot har en inhomogen ekvation någon given funktion på ena sidan, vilket komplicerar saker och ting något. Förutom måste vi lägga till ett andra uttryck , kallat den partiklärlösning , för att erhålla den allmänna formen av lösningen.
Lägg märke till att alla termer , eller i ekvationen står för sig själva. Till exempel finns det ingen eller . Detta är vad vi menar med linjär i namnet. Linjäriteten krävs för att de lösningsmetoder vi ska använda ska fungera.
Med linearitetsegenskapen kan vi hitta först genom att låta . Sedan går vi vidare och hittar en lösning så att villkoret för den högra sidan är uppfyllt. Slutligen är den kompletta lösningen:
Linjäritetsegenskapen säger också att om och båda löser den homogena ekvationen, så är också en lösning , givet att och är två godtyckliga konstanter.
Homogena differentialekvationer
Låt oss besöka den verkliga världen ett tag.
En leksaksvagn är fäst på en vägg med en fjäder och en dämpare. Bekanta dig med den här typen av upplägg. Det kommer att dyka upp om och om igen, men med små variationer. Förlåt för bristen på fantasi.
Vagnens rörelse kan beskrivas med ekvationen:
där är positionen som en funktion av tiden. och är bara några värden, som till exempel och . Eftersom det inte finns några yttre krafter, är den högra sidan av ekvationen .
Lös sedan för rötterna till . Detta kallas den karakteristisk ekvation .
Det finns tre fall för lösningen:
Båda rötterna är distinkta: då är .
Om det bara finns en rot: då .
Om det finns två komplexa rötter : då .
Matematikens gudar älskar talet !
För att säkerställa att dessa är lösningar på differentialekvationen, differentiera dem och koppla in dem i det ursprungliga uttrycket, lita på matematiken!
Okej, vi gör det första fallet åt dig. Nu kör vi. Låt oss börja med att skilja :
Om du skulle infoga allt i den ursprungliga ekvationen , skulle du få:
Blandar vi runt villkoren har vi:
Försök att memorera vart och ett av dessa fall - det är en bra investering.
Inhomogena differentialekvationer
Fysiker älskar problem med vagnar. Det är så roligt att se vagnen röra sig fram och tillbaka, se vagnens fjäder expandera och dra ihop sig! Ännu bättre, tänk om vi har någon som använder en annan kraft?
I det här exemplet är det ett litet barn som applicerar en kraft på vagnen. Kraften varierar, och den kan skrivas som .
Låt oss kalla positionen . Efter lite fysik kan vi sluta med en ekvation så här:
Detta är en inhomogen differentialekvation, eftersom den högra sidan inte är . Istället har vi en term. Usch.
Den Allmänna lösningen kan skrivas som:
Den homogena lösningen är lösningen till som ges av det karakteristiska polynomet:
Så vi får något i stil med .
Men hur är det med den partiklärlösningen? Eftersom visas på höger sida, kan vi förvänta oss att den partiklärlösningen innehåller en term. Det finns inget att förlora på att försöka, eller hur?
Låt oss preliminärt använda . Sedan , , och:
Detta innebär att:
Därför är den partiklärlösningen :
Tur gynnar de som försöker. Och så är det ofta när det kommer till differentialekvationer. För att hitta den partiklärlösningen måste du göra en kvalificerad gissning.
I allmänhet, om den högra sidan är:
Ett polynom: låt vara ett polynom av samma grad. Om innehåller lösningar på det homogena problemet, multiplicera med .
En trigonometrisk funktion: låt vara , där är samma som i den trigonometriska funktionen till höger. Om innehåller lösningar på det homogena problemet, multiplicera med .
En exponentialfunktion : låt vara .
Om din högra sida är en produkt av antingen (1), (2) eller (3), låt vara en sådan produkt, utan att specificera koefficienterna.
Efter att ha utökat det du har på vänster sida kan du bestämma koefficienterna.
Initialpunkt eller randvillkor
När vi löser en linjär differentialekvation av andra ordningen får vi en lösning som innehåller två konstanter. Oavsett formen på lösningen finns de alltid där. Så länge konstanterna förblir obestämda finns det ett oändligt antal lösningar på ekvationen.
Konstanterna bestäms av initiala värden: viss information om systemet vid en specifik tidpunkt. Vi behöver lika många initiala värden som ordningen på ekvationen.
För en differentialekvation av :te ordningen behöver vi initialvärden för att bestämma alla konstanter
Det här är ingen tillfällighet. Det råkar vara så att ordningen bestämmer antalet koefficienter, och varje koefficient kräver ett initialt eller randvärde för att hitta det.
En differentialekvation tillsammans med de erforderliga initiala eller randvärden kallas ett begynnelsevärdesproblem eller randvärde . Om differentialekvationen kan lösas lovar denna uppställning en helt bestämd lösning.
Vagnen: den stora finalen
Hittills har vi bestämt lösningen på vagnproblemet upp till konstanterna. Dess position är:
Men det är inte särskilt informativt om vi inte vet vilka konstanterna är.
För att bestämma konstanterna behöver vi två begynnelsevillkor. Det betyder att vi behöver känna till två delar av någon av följande information:
positionen ,
hastigheten , eller
accelerationen
vid någon given tidpunkt.
Nu viskar en liten fågel i mitt öra vagnens position vid två olika ögonblick:
Koppla in dessa en i taget i lösningen för och se när allt faller på plats.
Med det andra villkoret avslutar vi det:
Den slutliga lösningen är klar:
Att plugga in valfritt värde på i ekvationen ger nu den exakta positionen för vagnen för den tiden!
