Supongamos que te doy una función que se ve algo así:

y te pido que tomes la derivada de ella. ¿Qué haces?

Por ejemplo, podrías servirme la solución en bandeja, usando la regla del cociente:

Esta regla se puede derivar de la regla del producto de la siguiente manera:

Observamos que:

Usando este hecho, escribimos:

Y eso es de nuevo la regla del cociente.

Una pequeña observación: al tomar la derivada de podemos usar la regla de la cadena: . La función interna es y la función externa es .

El ejemplo más fundamental de la regla del cociente es al tomar la derivada de:

Como se mencionó anteriormente, podemos usar la regla de la cadena para encontrar la derivada. También podemos usar la regla del cociente.

La función numeradora sería entonces . La derivada de es cero, así que:

Este ejemplo tiene su propio nombre: la regla del recíproco.

Sea y . Al tomar la derivada del cociente, obtenemos:

El numerador se puede simplificar con reglas trigonométricas, ya que . Por lo tanto, obtenemos:

Pero, como hemos visto al hablar de funciones trigonométricas, . Así que acabamos de demostrar:

Esto también se puede escribir como , si no usamos identidades trigonométricas al simplificar.