Gauss-Jordan

Antes de revisar el método de Gauss-Jordan, es práctico primero entender la transición del sistema de ecuaciones a la matriz aumentada. En resumen, la matriz aumentada es solo una forma de escribir lo mismo que con el sistema de ecuaciones. Comenzamos con un ejemplo con dos variables:

Una breve explicación de lo anterior: En el primer paso, convertimos la expresión en multiplicación de matrices en la forma , que podemos usar en el segundo paso para escribir el sistema de ecuaciones como una matriz aumentada:

donde los elementos a la izquierda de la barra vertical corresponden a las constantes de las variables en el término izquierdo, y los elementos a la derecha corresponden a las constantes a la derecha del signo igual. En el caso de que el término derecho sea el vector 0, simplificamos la matriz aumentada para contener solo el término izquierdo, por ejemplo:

Ejemplos de matrices en forma escalonada son:

Una matriz está en forma escalonada si:

Ejemplos de matrices en forma escalonada reducida son:

Una matriz está en forma escalonada reducida si:

Los unos en negrita se llaman unos líderes y todos tienen en común que todos los elementos a su izquierda, si los hay, son 0.

La piedra angular del método de Gauss-Jordan son las operaciones elementales de fila. Brevemente, se utilizan para resolver un sistema lineal de ecuaciones utilizando las tres operaciones permitidas y aplicándolas al sistema de ecuaciones.

Mostramos estas tres operaciones en los siguientes sistemas, que primero convertimos en una matriz aumentada:

La primera ecuación se nota , la segunda es y así sucesivamente. Si y se escriben en sus respectivos lugares, significa que estas dos líneas cambiarán de lugar.

La notación significa que multiplicamos la primera línea por dos.

La notación significa la operación de fila "primera ecuación de fila sumada con la segunda fila, que se multiplica por -2".

Los estudiantes a menudo dan por sentado que las operaciones de fila son legales, pero les resulta difícil dar una explicación convincente de por qué. Recuerde que las operaciones de fila manipulan el sistema, pero el conjunto de soluciones permanece igual.
Para un razonamiento práctico, podemos partir de la ecuación más simple:

El signo igual en una ecuación se refiere a un equilibrio entre izquierda y derecha. Esto significa que una operación utilizando los cuatro métodos aritméticos (suma, resta, multiplicación y división) en un término requiere las operaciones correspondientes en los otros términos para honrar el equilibrio. Mostramos una multiplicación por 2:

Ahora extendemos la analogía. Dado que tanto como tienen la misma solución, y por lo tanto están equilibradas, sigue la misma lógica sumar al lado izquierdo como sumar al lado derecho:

Si llevamos exactamente el mismo ejemplo a un sistema lineal de ecuaciones con una solución de , obtenemos:

Esto no es una demostración matemática de las operaciones de fila, pero es un razonamiento totalmente válido que justifica el procedimiento. Y recuerde: el conjunto de soluciones permanece igual, aunque el sistema será diferente.

Resolver un sistema de ecuaciones es determinar su conjunto de soluciones. El objetivo del método de Gauss-Jordan es resolver un sistema lineal de ecuaciones con la ayuda de operaciones elementales de fila para simplificar el sistema de tal manera que podamos leer fácilmente cuál es la solución. Tomemos el siguiente sistema como ejemplo:

Primero, escribimos la matriz aumentada para el sistema, y a partir de ahí podemos encontrar la matriz aumentada reducida, que también se llama forma escalonada reducida.

De la última matriz aumentada podemos leer que:

Ahora mostramos cómo llegar a la matriz aumentada correcta con la ayuda de operaciones de fila, paso a paso.

Ahora hemos terminado y podemos ver que hay una solución única, a saber, el punto . Lo importante es entender que con el método de Gauss-Jordan, el conjunto de soluciones se mantiene a pesar de las operaciones de fila, pero las ecuaciones en el sistema cambian y no son las mismas. Vea el ejemplo obvio de que la ecuación de la primera línea de la primera etapa no corresponde a la de la última etapa en el método de Gauss-Jordan:

Recuerde que para todos los sistemas de ecuaciones, uno de los tres casos diferentes se aplica; solución única, infinitas soluciones o ninguna solución.

En el ejemplo anterior, vimos una matriz aumentada reducida para una solución única, un punto:

En el caso de no haber soluciones, es decir, el sistema es inconsistente, ha surgido una contradicción bajo el método de Gauss-Jordan. Si no lo ve directamente, se descubrirá al final por el hecho de que para una línea, todo el lado izquierdo será 0 mientras que el lado derecho será no nulo, por ejemplo;

Esto significa que la última línea de ecuaciones es;

lo cual es obviamente falso y por lo tanto todo el sistema carece de soluciones.

El último caso, infinitas soluciones, siempre significa que hemos comenzado con menos ecuaciones de las que tenemos variables, o que ha surgido una línea completa de ceros:

En el caso anterior, esto significa que nos quedan dos ecuaciones, mientras que la tercera ha sido reducida en la reducción de filas. Lo que hacemos ahora es introducir un parámetro para la línea 3:

y continuando con las operaciones de fila:

La solución por lo tanto sigue la forma paramétrica:

que reconocemos como la forma paramétrica de una línea, ya que tiene tanto un punto como una dirección .

Si obtenemos dos filas de ceros:

Introducimos dos parámetros y continuamos reduciendo filas:

de la cual la solución también sigue una forma paramétrica:

Reconocemos el conjunto de soluciones como un plano, ya que tiene dos parámetros y por lo tanto dos vectores de dirección. Recuerde la regla: dos direcciones = dos dimensiones = un plano.