Determinante

El determinante es un escalar y se nota:

El determinante puede introducirse tanto tarde como temprano en un curso de álgebra lineal. En cuanto a lo que es, los estudiantes tradicionalmente se introducen primero a cómo se calcula el determinante y luego a la conexión práctica y su interpretación geométrica.

Elegimos hacer lo contrario.

El determinante indica si un sistema lineal de ecuaciones tiene soluciones o no. Recuerde los tres casos; solución única, infinitamente muchas soluciones o ninguna solución.

Si el determinante es cero, el sistema tiene "infinitamente muchas soluciones" o "ninguna solución".

Si el determinante no es cero, el sistema tiene una solución única.

El determinante se interpreta geométricamente como el factor de escala para una transformación o aplicación lineal, a la que lamentablemente el principiante generalmente no ha sido introducido cuando son necesarios los cálculos del determinante.

En resumen, cada multiplicación de matrices es una aplicación lineal, pero desde una perspectiva práctica, se puede decir que una aplicación lineal es una matriz que se multiplica con un vector para obtener un resultado deseado.

Un ejemplo simple sería una aplicación lineal que rota en sentido horario por el ángulo y duplica su longitud. Entonces el factor de escala, es decir, el determinante, de sería .

La definición del determinante de una matriz de forma la base para calcular el determinante de una matriz de .

Sea:

entonces la definición del determinante es:

El algoritmo para calcular el determinante de una matriz de se realiza utilizando la suma de tres determinantes de . Producimos estos expandiendo una sola fila o columna en el determinante de (llamado expansión de cofactor).

Sea:

entonces se aplica que el determinante de es:

donde hemos realizado una expansión de fila de la primera fila, porque los escalares de cada matriz de son solo los elementos de la primera fila.

Ahora repasamos cómo se hace la expansión. Considere el determinante de :

Empezamos expandiendo a lo largo de la primera línea y comenzamos con el primer elemento :

La expansión entonces tiene lugar seleccionando la fila y columna del elemento actual para extraer los elementos restantes como un determinante de multiplicado por :

Continuamos con el siguiente elemento a lo largo de la primera línea, , y obtenemos:

¡Note que la expansión alrededor de viene con un signo menos! Volveremos a eso en breve.

Ahora continuamos con el siguiente, y último, elemento a expandir: .

¡Note que el elemento viene con un signo más!

Ahora terminamos el cálculo usando la definición del determinante de :

Lo cual concluye la fórmula para el determinante de , así como el algoritmo que hace que la definición sea fácil de recordar en lugar de aprender la fórmula de memoria (algo necesario para avanzar desde el estado de principiante).

El método anterior se puede extender fácilmente de forma análoga a matrices más grandes, por lo que comenzamos con él. Sin embargo, hay un algoritmo alternativo que se aplica al determinante de , que visualmente se asemeja a la definición del determinante de :

Si extendemos esta mentalidad, obtenemos un método que funciona, pero solo funciona para calcular determinantes de . El método se llama regla de Sarru.

El cálculo del determinante, independientemente de las dimensiones de la matriz , se realiza de manera análoga como para el determinante de - podemos expresarlo como un algoritmo para cada determinante de . Pero antes de hacer eso, explicamos por qué el elemento en el cálculo del determinante de tenía un signo negativo.

Considere la matriz de . En ese caso, cada elemento extraído en su determinante lleva consigo un signo positivo o negativo dependiendo de su posición, según el siguiente "patrón de ajedrez":

Esto significa que para el determinante de , el signo oculto de cada elemento sigue:

Por ejemplo, si eligiéramos expandir a lo largo de la segunda columna, la suma de productos sería:

Note que los signos más y menos escritos dentro de los determinantes anteriores no deben hacerse en ningún cálculo, pero ahora se han hecho solo con fines educativos.

La forma general de una expansión a lo largo de una línea (expansión de cofactor) para el determinante de una matriz de se puede escribir como:

donde es cada elemento en la fila seleccionada , y es un cofactor, que es el determinante de de los demás elementos que no dividen una fila o columna con el correspondiente .

\item Repita los pasos anteriores hasta que la última suma de productos contenga solo determinantes de .
\end{enumerate}
El algoritmo muestra que el cálculo de un determinante puede ser extremadamente laborioso si la dimensión es alta.

Sin embargo, note la ventaja de extraer una fila o columna cuyos muchos elementos son cero. Esto significa que la suma de productos desarrollada se reduce considerablemente. Por ejemplo, como en:

Si el determinante que calcula carece de elementos 0, o no tiene suficientes para simplificar mucho el cálculo, puede, al igual que Gauss-Jordan, reducir por filas la matriz del determinante sin cambiar el determinante. Esto, y más características, se discuten en la próxima sección.

La matriz de adjuntos se basa en las expansiones de cofactor de . Esto se vuelve interesante en un teorema para la expresión de , si existe la inversa. Nuestra definición de la matriz de adjuntos es:

Usando la matriz de adjuntos de , podemos expresar muy fácilmente si existe la inversa usando el siguiente teorema, que dejamos sin demostrar.

Ahora mostraremos ejemplos de todo esto. Sea la siguiente matriz invertible:

cuyos cofactores se convierten en:

y así la matriz de cofactores y la matriz de adjuntos se convierten en lo siguiente:

Comenzamos con un teorema útil sobre las leyes para reducir por filas la matriz del determinante antes de una expansión de filas para maximizar el número de elementos 0.

La demostración del primer y tercer punto es un buen ejercicio para el principiante, y una demostración directa de un determinante de y un determinante de es suficiente para convencer a uno. Para crear una demostración matemática sostenible, se recomienda una demostración por inducción.

El segundo punto se sigue de la definición del determinante con el esquema de caracteres "patrón de ajedrez" en la sección anterior.

Con la ayuda de la declaración anterior, podemos obtener la siguiente declaración:

Ahora estamos listos para el teorema más memorable para los estudiantes, que se basa en los últimos teoremas y la evidencia que hemos presentado sobre cómo una matriz invertible de se puede reducir a :

Otro teorema útil para la aritmética es:

La siguiente declaración se aplica a la inversa:

Terminamos esta sección vinculando un teorema que se introduce con inversa y sistemas lineales de ecuaciones junto con nuestros conocimientos sobre el determinante.

Para cada ecuación:

donde la matriz es invertible, hay una solución única para cada y . La regla de Cramer es una declaración que, sobre todo, facilita la expresión de la solución , ya que no tenemos números en la matriz .